Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 7:45 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 7:45 + 1:30 = 9:15 Uhr
Ergebnis:
9:15 Uhr
●40
Rechne um: 7 m in dm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 10 dm
2. 7 · 10 = 70 dm
Ergebnis:
70 dm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

24 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 17 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 2.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 2.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Ergebnis:

Der Preis für Erwachsene fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 17 Tore geschossen. Zum Finale kamen 225 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 9 Spiele.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 9 Spiele.
2. 15 − 9 = 6
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●2
30 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 3.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
★3
Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 110 Minuten. Der Film beginnt um 8:30 Uhr. Wann ist er zu Ende, und welche Angaben brauchst du dafür nicht?
Lösung zeigen
1. 110 Minuten sind 1 Stunde und 50 Minuten.
2. 8:30 Uhr plus 110 Minuten: 10:20 Uhr
3. Nicht gebraucht: Anzahl der Kinder und Preis.
Ergebnis:
10:20 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Lea ist um 6:58 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lea auf den nächsten Bus 100?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 7:11 Uhr.
Von 6:58 bis 7:11 Uhr sind es 13 Minuten.

Der nächste fährt um 7:11 Uhr.
Von 6:58 bis 7:11 Uhr sind es 13 Minuten.

Ergebnis:

13 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Hanna ist um 7:03 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Hanna auf den nächsten Bus 100?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:07 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:07 Uhr.
2. Von 7:03 bis 7:07 Uhr sind es 4 Minuten.
Ergebnis:
4 Minuten
●5
Der Unterricht beginnt um 7:22 Uhr. Welchen Bus X34 muss Emma spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:22 Uhr: 7:06, 7:21 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:21 Uhr an.
3. Er fährt um 7:02 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:02 Uhr
★6
Lina ist um 6:48 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lina auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:50 Uhr.
2. Von 6:48 bis 6:50 Uhr sind es 2 Minuten.
Ergebnis:
2 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Ela hat 49 Murmeln. Jonas hat 6 Murmeln mehr als Ela. Wie viele Murmeln hat Jonas?

Schritt für Schritt

Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
49 + 6 = 55

Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
49 + 6 = 55

Ergebnis:

55 Murmeln

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Noah hat 83 Bücher. Jonas hat 20 Bücher weniger als Noah. Wie viele Bücher hat Jonas?
So fängst du an:
Jonas hat weniger: der Streifen von Jonas ist kürzer
Lösung zeigen
1. Jonas hat weniger: der Streifen von Jonas ist kürzer
2. 83 − 20 = 63
Ergebnis:
63 Bücher
●8
Lina hat 50 Karten. Mia hat 25 Karten weniger als Lina. Wie viele Karten hat Mia?
Lösung zeigen
1. Mia hat weniger: der Streifen von Mia ist kürzer
2. 50 − 25 = 25
Ergebnis:
25 Karten
★9
Aylin hat 354 Karten, Noah hat 258 Karten. Wie viele Karten hat Aylin mehr?
Lösung zeigen
1. Der Unterschied ist der Rest zwischen den Streifen
2. 354 − 258 = 96
Ergebnis:
96 Karten

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Paul braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 33 Minuten für den Weg. Wann muss Paul spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 16:09 Uhr.
Noch 33 Minuten früher: 15:36 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 16:09 Uhr.
Noch 33 Minuten früher: 15:36 Uhr.

Ergebnis:

15:36 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Lea braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 16:05 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 16:05 Uhr.
2. Noch 20 Minuten früher: 15:45 Uhr.
Ergebnis:
15:45 Uhr
●11
Sofia kauft ein Buch für 11 €. Danach bekommt Sofia 12 € geschenkt und hat jetzt 35 €. Wie viel Geld hatte Sofia am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 35 € − 12 € = 23 €
2. Dann den Kauf: 23 € + 11 € = 34 €
Ergebnis:
34 €
★12
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Tom braucht 12 Minuten zum Umziehen und davor 23 Minuten für den Weg. Wann muss Tom spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 12 Minuten früher ist 16:48 Uhr.
2. Noch 23 Minuten früher: 16:25 Uhr.
Ergebnis:
16:25 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa zählt Elias 7 Tische und 32 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
5 Vierertische und 2 Sechsertische: 5 · 4 + 2 · 6 = 32

Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
5 Vierertische und 2 Sechsertische: 5 · 4 + 2 · 6 = 32

Ergebnis:

5 Vierertische, 2 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 10 Tische mit 58 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Vierertisch und 9 Sechsertische: 1 · 4 + 9 · 6 = 58
Ergebnis:
9 Sechsertische
●14
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 10 Tische mit 42 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 9 Vierertische und 1 Sechsertisch: 9 · 4 + 1 · 6 = 42
Ergebnis:
1 Sechsertisch
★15
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 17 Fahrzeuge mit 48 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 9 Fahrräder und 8 Dreiräder ergeben 42 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 3 Fahrräder und 14 Dreiräder: 3 · 2 + 14 · 3 = 48
Ergebnis:
14 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Bleistift kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 9,00 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
Packung: 9,00 €
Die Packung ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
Packung: 9,00 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 10 Riegeln kostet 11,00 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Riegel braucht?
So fängst du an:
10 einzeln: 10 · 1,20 € = 12,00 €
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,20 € = 12,00 €
2. Packung: 11,00 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
●17
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 6,30 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
2. Packung: 6,30 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
★18
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 8,40 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
2. Packung: 8,40 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 7 Kästen liegen je 5 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?

Schritt für Schritt

7 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
7 · 5 = 35

7 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
7 · 5 = 35

Ergebnis:

35 Karten

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 7 Kästen liegen je 9 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
So fängst du an:
7 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 7 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
2. 7 · 9 = 63
Ergebnis:
63 Sticker
●20
In 8 Kästen liegen je 9 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 8 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
2. 8 · 9 = 72
Ergebnis:
72 Karten
★21
450 Karten werden gleichmäßig auf 10 Kästen verteilt. Wie viele Karten kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 450, 10 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 450 : 10 = 45
Ergebnis:
45 Karten

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Ben hat 38 Sticker, Aylin hat 44 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
38 + 44 = 82

Zwei Teile, gesucht das Ganze
38 + 44 = 82

Ergebnis:

82 Sticker

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Jonas hat 20 Bücher, Ela hat 58 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 20 + 58 = 78
Ergebnis:
78 Bücher
●23
Lina hat 78 Karten, Jonas hat 39 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 78 + 39 = 117
Ergebnis:
117 Karten
★24
Noah und Lina haben zusammen 493 Murmeln. Noah hat 146 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Lina?
Lösung zeigen
1. Ganzes 493, ein Teil 146, gesucht der andere Teil
2. 493 − 146 = 347
Ergebnis:
347 Murmeln

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 33 Tore geschossen. Zum Finale kamen 412 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●26
In der Klasse sind 23 Kinder. Sie spielen in 4 gleich großen Teams, wer übrig bleibt, pfeift. Wie viele Kinder pfeifen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. 23 : 4 = 5 Rest 3
2. 3 Kinder pfeifen.
Ergebnis:
lösbar, 3
●27
Der Unterricht beginnt um 8:10 Uhr. Welchen Bus M29 muss Zeynep spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:10 Uhr: 7:06, 7:26, 7:46, 8:06 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 8:06 Uhr an.
3. Er fährt um 7:51 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:51 Uhr
●28
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Milan sagt: „18 m Zaun mit einem Pfahl alle 3 m braucht 6 Pfähle.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 18 : 3 = 6 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 7.
Ergebnis:
Nein, 7 Pfähle
●29
Im Kino sitzt Lina auf Platz 8 von links. Zwischen Lina und Emma sitzen 2 Kinder, Emma sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Emma?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 8 ist Lina, dann 2 Plätze dazwischen.
2. 8 + 2 + 1 = 11
Ergebnis:
Platz 11
●30
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Aylin braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 29 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 16:05 Uhr.
2. Noch 29 Minuten früher: 15:36 Uhr.
Ergebnis:
15:36 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 105 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Tom ist um 6:58 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Tom auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
Ergebnis:
3 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Aylin hat 50 Karten. Lina hat 12 Karten weniger als Aylin. Wie viele Karten hat Lina?
Lösung zeigen
Ergebnis:
38 Karten
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Milan braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 17 Minuten für den Weg. Wann muss Milan spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
16:29 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
In der Mensa zählt Tom 5 Tische und 28 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1 Vierertisch, 4 Sechsertische
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Tennisball kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 4,20 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 7 Kästen liegen je 8 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
56 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Lina hat 30 Bücher, Noah hat 58 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
88 Bücher

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Der Preis für Erwachsene fehlt
10:20 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht
4 Minuten
den um 7:02 Uhr
2 Minuten
63 Bücher
25 Karten
96 Karten
15:45 Uhr
34 €
16:25 Uhr
9 Sechsertische
1 Sechsertisch
14 Dreiräder
die Packung
einzeln
die Packung
63 Sticker
72 Karten
45 Karten
78 Bücher
117 Karten
347 Murmeln
Die Tore im Finale fehlen
lösbar, 3
den um 7:51 Uhr
Nein, 7 Pfähle
Platz 11
15:36 Uhr
Der Beginn des Films fehlt
3 Minuten
38 Karten
16:29 Uhr
1 Vierertisch, 4 Sechsertische
einzeln
56 Bücher
88 Bücher
9:15 Uhr
70 dm

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 7:45 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 7:45 + 1:30 = 9:15 Uhr
Ergebnis:
9:15 Uhr
●40
Rechne um: 7 m in dm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 10 dm
2. 7 · 10 = 70 dm
Ergebnis:
70 dm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

24 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 17 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 2.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 2.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Ergebnis:

Der Preis für Erwachsene fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 17 Tore geschossen. Zum Finale kamen 225 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 9 Spiele.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 9 Spiele.
2. 15 − 9 = 6
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●2
30 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 3.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
★3
Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 110 Minuten. Der Film beginnt um 8:30 Uhr. Wann ist er zu Ende, und welche Angaben brauchst du dafür nicht?
Lösung zeigen
1. 110 Minuten sind 1 Stunde und 50 Minuten.
2. 8:30 Uhr plus 110 Minuten: 10:20 Uhr
3. Nicht gebraucht: Anzahl der Kinder und Preis.
Ergebnis:
10:20 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Lea ist um 6:58 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lea auf den nächsten Bus 100?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 7:11 Uhr.
Von 6:58 bis 7:11 Uhr sind es 13 Minuten.

Der nächste fährt um 7:11 Uhr.
Von 6:58 bis 7:11 Uhr sind es 13 Minuten.

Ergebnis:

13 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Hanna ist um 7:03 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Hanna auf den nächsten Bus 100?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:07 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:07 Uhr.
2. Von 7:03 bis 7:07 Uhr sind es 4 Minuten.
Ergebnis:
4 Minuten
●5
Der Unterricht beginnt um 7:22 Uhr. Welchen Bus X34 muss Emma spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:22 Uhr: 7:06, 7:21 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:21 Uhr an.
3. Er fährt um 7:02 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:02 Uhr
★6
Lina ist um 6:48 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lina auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:50 Uhr.
2. Von 6:48 bis 6:50 Uhr sind es 2 Minuten.
Ergebnis:
2 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Ela hat 49 Murmeln. Jonas hat 6 Murmeln mehr als Ela. Wie viele Murmeln hat Jonas?

Schritt für Schritt

Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
49 + 6 = 55

Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
49 + 6 = 55

Ergebnis:

55 Murmeln

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Noah hat 83 Bücher. Jonas hat 20 Bücher weniger als Noah. Wie viele Bücher hat Jonas?
So fängst du an:
Jonas hat weniger: der Streifen von Jonas ist kürzer
Lösung zeigen
1. Jonas hat weniger: der Streifen von Jonas ist kürzer
2. 83 − 20 = 63
Ergebnis:
63 Bücher
●8
Lina hat 50 Karten. Mia hat 25 Karten weniger als Lina. Wie viele Karten hat Mia?
Lösung zeigen
1. Mia hat weniger: der Streifen von Mia ist kürzer
2. 50 − 25 = 25
Ergebnis:
25 Karten
★9
Aylin hat 354 Karten, Noah hat 258 Karten. Wie viele Karten hat Aylin mehr?
Lösung zeigen
1. Der Unterschied ist der Rest zwischen den Streifen
2. 354 − 258 = 96
Ergebnis:
96 Karten

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Paul braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 33 Minuten für den Weg. Wann muss Paul spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 16:09 Uhr.
Noch 33 Minuten früher: 15:36 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 16:09 Uhr.
Noch 33 Minuten früher: 15:36 Uhr.

Ergebnis:

15:36 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Lea braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 16:05 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 16:05 Uhr.
2. Noch 20 Minuten früher: 15:45 Uhr.
Ergebnis:
15:45 Uhr
●11
Sofia kauft ein Buch für 11 €. Danach bekommt Sofia 12 € geschenkt und hat jetzt 35 €. Wie viel Geld hatte Sofia am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 35 € − 12 € = 23 €
2. Dann den Kauf: 23 € + 11 € = 34 €
Ergebnis:
34 €
★12
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Tom braucht 12 Minuten zum Umziehen und davor 23 Minuten für den Weg. Wann muss Tom spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 12 Minuten früher ist 16:48 Uhr.
2. Noch 23 Minuten früher: 16:25 Uhr.
Ergebnis:
16:25 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa zählt Elias 7 Tische und 32 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
5 Vierertische und 2 Sechsertische: 5 · 4 + 2 · 6 = 32

Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
5 Vierertische und 2 Sechsertische: 5 · 4 + 2 · 6 = 32

Ergebnis:

5 Vierertische, 2 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 10 Tische mit 58 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Vierertisch und 9 Sechsertische: 1 · 4 + 9 · 6 = 58
Ergebnis:
9 Sechsertische
●14
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 10 Tische mit 42 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 9 Vierertische und 1 Sechsertisch: 9 · 4 + 1 · 6 = 42
Ergebnis:
1 Sechsertisch
★15
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 17 Fahrzeuge mit 48 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 9 Fahrräder und 8 Dreiräder ergeben 42 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 3 Fahrräder und 14 Dreiräder: 3 · 2 + 14 · 3 = 48
Ergebnis:
14 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Bleistift kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 9,00 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
Packung: 9,00 €
Die Packung ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
Packung: 9,00 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 10 Riegeln kostet 11,00 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Riegel braucht?
So fängst du an:
10 einzeln: 10 · 1,20 € = 12,00 €
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,20 € = 12,00 €
2. Packung: 11,00 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
●17
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 6,30 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
2. Packung: 6,30 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
★18
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 8,40 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
2. Packung: 8,40 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 7 Kästen liegen je 5 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?

Schritt für Schritt

7 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
7 · 5 = 35

7 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
7 · 5 = 35

Ergebnis:

35 Karten

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 7 Kästen liegen je 9 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
So fängst du an:
7 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 7 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
2. 7 · 9 = 63
Ergebnis:
63 Sticker
●20
In 8 Kästen liegen je 9 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 8 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
2. 8 · 9 = 72
Ergebnis:
72 Karten
★21
450 Karten werden gleichmäßig auf 10 Kästen verteilt. Wie viele Karten kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 450, 10 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 450 : 10 = 45
Ergebnis:
45 Karten

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Ben hat 38 Sticker, Aylin hat 44 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
38 + 44 = 82

Zwei Teile, gesucht das Ganze
38 + 44 = 82

Ergebnis:

82 Sticker

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Jonas hat 20 Bücher, Ela hat 58 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 20 + 58 = 78
Ergebnis:
78 Bücher
●23
Lina hat 78 Karten, Jonas hat 39 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 78 + 39 = 117
Ergebnis:
117 Karten
★24
Noah und Lina haben zusammen 493 Murmeln. Noah hat 146 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Lina?
Lösung zeigen
1. Ganzes 493, ein Teil 146, gesucht der andere Teil
2. 493 − 146 = 347
Ergebnis:
347 Murmeln

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 33 Tore geschossen. Zum Finale kamen 412 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●26
In der Klasse sind 23 Kinder. Sie spielen in 4 gleich großen Teams, wer übrig bleibt, pfeift. Wie viele Kinder pfeifen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. 23 : 4 = 5 Rest 3
2. 3 Kinder pfeifen.
Ergebnis:
lösbar, 3
●27
Der Unterricht beginnt um 8:10 Uhr. Welchen Bus M29 muss Zeynep spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:10 Uhr: 7:06, 7:26, 7:46, 8:06 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 8:06 Uhr an.
3. Er fährt um 7:51 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:51 Uhr
●28
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Milan sagt: „18 m Zaun mit einem Pfahl alle 3 m braucht 6 Pfähle.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 18 : 3 = 6 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 7.
Ergebnis:
Nein, 7 Pfähle
●29
Im Kino sitzt Lina auf Platz 8 von links. Zwischen Lina und Emma sitzen 2 Kinder, Emma sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Emma?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 8 ist Lina, dann 2 Plätze dazwischen.
2. 8 + 2 + 1 = 11
Ergebnis:
Platz 11
●30
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Aylin braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 29 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 16:05 Uhr.
2. Noch 29 Minuten früher: 15:36 Uhr.
Ergebnis:
15:36 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 105 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Tom ist um 6:58 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Tom auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
Ergebnis:
3 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Aylin hat 50 Karten. Lina hat 12 Karten weniger als Aylin. Wie viele Karten hat Lina?
Lösung zeigen
Ergebnis:
38 Karten
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Milan braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 17 Minuten für den Weg. Wann muss Milan spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
16:29 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
In der Mensa zählt Tom 5 Tische und 28 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1 Vierertisch, 4 Sechsertische
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Tennisball kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 4,20 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 7 Kästen liegen je 8 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
56 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Lina hat 30 Bücher, Noah hat 58 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
88 Bücher

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Der Preis für Erwachsene fehlt
10:20 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht
4 Minuten
den um 7:02 Uhr
2 Minuten
63 Bücher
25 Karten
96 Karten
15:45 Uhr
34 €
16:25 Uhr
9 Sechsertische
1 Sechsertisch
14 Dreiräder
die Packung
einzeln
die Packung
63 Sticker
72 Karten
45 Karten
78 Bücher
117 Karten
347 Murmeln
Die Tore im Finale fehlen
lösbar, 3
den um 7:51 Uhr
Nein, 7 Pfähle
Platz 11
15:36 Uhr
Der Beginn des Films fehlt
3 Minuten
38 Karten
16:29 Uhr
1 Vierertisch, 4 Sechsertische
einzeln
56 Bücher
88 Bücher
9:15 Uhr
70 dm