Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 10:15 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 10:15 + 1:30 = 11:45 Uhr
Ergebnis:
11:45 Uhr
●40
Rechne um: 8 km in m.
Lösung zeigen
1. 1 km = 1.000 m
2. 8 · 1.000 = 8.000 m
Ergebnis:
8.000 m

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 31 Tore geschossen. Zum Finale kamen 467 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 9 Spiele.
15 − 9 = 6
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Gebraucht: 9 Spiele.
15 − 9 = 6
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Ergebnis:

6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 110 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 14 Tore geschossen. Zum Finale kamen 470 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 11 Spiele.
2. 15 − 11 = 4
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
★3
27 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 15 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.

Schritt für Schritt

Zum Beispiel: ab 6:40 Uhr, an 7:06 Uhr.
Von 6:40 bis 7:06 Uhr sind es 26 Minuten.

Zum Beispiel: ab 6:40 Uhr, an 7:06 Uhr.
Von 6:40 bis 7:06 Uhr sind es 26 Minuten.

Ergebnis:

26 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 8:22 Uhr. Welchen Bus 100 muss Can spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 8:22 Uhr: 7:20, 7:40, 8:00, 8:20 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:22 Uhr: 7:20, 7:40, 8:00, 8:20 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 8:20 Uhr an.
3. Er fährt um 7:53 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:53 Uhr
●5
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:54 Uhr, an 7:12 Uhr.
2. Von 6:54 bis 7:12 Uhr sind es 18 Minuten.
Ergebnis:
18 Minuten
★6
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:45 Uhr, an 7:12 Uhr.
2. Von 6:45 bis 7:12 Uhr sind es 27 Minuten.
Ergebnis:
27 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Noah hat 41 Sticker. Ela hat 16 Sticker weniger als Noah. Wie viele Sticker hat Ela?

Schritt für Schritt

Ela hat weniger: der Streifen von Ela ist kürzer
41 − 16 = 25

Ela hat weniger: der Streifen von Ela ist kürzer
41 − 16 = 25

Ergebnis:

25 Sticker

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Noah hat 75 Bücher. Tim hat 26 Bücher mehr als Noah. Wie viele Bücher hat Tim?
So fängst du an:
Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
Lösung zeigen
1. Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
2. 75 + 26 = 101
Ergebnis:
101 Bücher
●8
Aylin hat 73 Sticker. Mia hat 11 Sticker mehr als Aylin. Wie viele Sticker hat Mia?
Lösung zeigen
1. Mia hat mehr: der Streifen von Mia ist länger
2. 73 + 11 = 84
Ergebnis:
84 Sticker
★9
Ben hat 563 Sticker. Noah hat 95 Sticker mehr als Ben. Wie viele Sticker hat Noah?
Lösung zeigen
1. Noah hat mehr: der Streifen von Noah ist länger
2. 563 + 95 = 658
Ergebnis:
658 Sticker

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Can braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Can spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 15:53 Uhr.
Noch 20 Minuten früher: 15:33 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 15:53 Uhr.
Noch 20 Minuten früher: 15:33 Uhr.

Ergebnis:

15:33 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Ben kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Ben 5 € geschenkt und hat jetzt 21 €. Wie viel Geld hatte Ben am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 21 € − 5 € = 16 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 21 € − 5 € = 16 €
2. Dann den Kauf: 16 € + 7 € = 23 €
Ergebnis:
23 €
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Milan braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 27 Minuten für den Weg. Wann muss Milan spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 15:53 Uhr.
2. Noch 27 Minuten früher: 15:26 Uhr.
Ergebnis:
15:26 Uhr
★12
Lea verschenkt 8 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Lea noch 5 Karten dazu. Jetzt sind es 39. Wie viele Karten waren es am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts: 39 − 5 = 34
2. Verdoppeln rückgängig: 34 : 2 = 17
3. Verschenken rückgängig: 17 + 8 = 25
Ergebnis:
25 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita zählt Noah 9 Fahrzeuge und 19 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
8 Fahrräder und 1 Dreirad: 8 · 2 + 1 · 3 = 19

Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
8 Fahrräder und 1 Dreirad: 8 · 2 + 1 · 3 = 19

Ergebnis:

8 Fahrräder, 1 Dreirad

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 8 Fahrzeuge mit 23 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 1 Fahrrad und 7 Dreiräder: 1 · 2 + 7 · 3 = 23
Ergebnis:
7 Dreiräder
●14
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 7 Tiere mit 18 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 5 Hühner und 2 Kaninchen: 5 · 2 + 2 · 4 = 18
Ergebnis:
2 Kaninchen
★15
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 16 Tiere mit 36 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 8 Hühner und 8 Kaninchen ergeben 48 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 14 Hühner und 2 Kaninchen: 14 · 2 + 2 · 4 = 36
Ergebnis:
2 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Bleistift kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 6 Bleistiften kostet 6,60 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bleistifte braucht?

Schritt für Schritt

6 einzeln: 6 · 1,20 € = 7,20 €
Packung: 6,60 €
Die Packung ist günstiger.

6 einzeln: 6 · 1,20 € = 7,20 €
Packung: 6,60 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
0,67 €
★18
Ein Bleistift kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 4,20 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
2. Packung: 4,20 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 3 Kästen liegen je 7 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?

Schritt für Schritt

3 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
3 · 7 = 21

3 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
3 · 7 = 21

Ergebnis:

21 Sticker

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 4 Kästen liegen je 4 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
So fängst du an:
4 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 4 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
2. 4 · 4 = 16
Ergebnis:
16 Bücher
●20
In 6 Kästen liegen je 4 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 6 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
2. 6 · 4 = 24
Ergebnis:
24 Sticker
★21
232 Bücher werden gleichmäßig auf 8 Kästen verteilt. Wie viele Bücher kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 232, 8 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 232 : 8 = 29
Ergebnis:
29 Bücher

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Aylin hat 25 Murmeln, Ela hat 66 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
25 + 66 = 91

Zwei Teile, gesucht das Ganze
25 + 66 = 91

Ergebnis:

91 Murmeln

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Noah hat 32 Karten, Ben hat 22 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 32 + 22 = 54
Ergebnis:
54 Karten
●23
Mia hat 66 Karten, Noah hat 78 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 66 + 78 = 144
Ergebnis:
144 Karten
★24
Ela und Ben haben zusammen 700 Murmeln. Ela hat 241 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Ben?
Lösung zeigen
1. Ganzes 700, ein Teil 241, gesucht der andere Teil
2. 700 − 241 = 459
Ergebnis:
459 Murmeln

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 18 Tore geschossen. Zum Finale kamen 177 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●26
Auf einem Schiff sind 39 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
Lösung zeigen
1. Die Angaben handeln von Tieren.
2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:44 Uhr, an 7:02 Uhr.
2. Von 6:44 bis 7:02 Uhr sind es 18 Minuten.
Ergebnis:
18 Minuten
●28
Entlang eines Weges stehen 13 Laternen im Abstand von 5 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 13 Laternen haben 12 Abstände dazwischen.
2. 12 · 5 m = 60 m
Ergebnis:
60 m
●29
Im Kino sitzt Zeynep auf Platz 7 von links. Zwischen Zeynep und Lina sitzen 3 Kinder, Lina sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Lina?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 7 ist Zeynep, dann 3 Plätze dazwischen.
2. 7 + 3 + 1 = 11
Ergebnis:
Platz 11
●30
Elias kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Elias 6 € geschenkt und hat jetzt 27 €. Wie viel Geld hatte Elias am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 27 € − 6 € = 21 €
2. Dann den Kauf: 21 € + 15 € = 36 €
Ergebnis:
36 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 24 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Aylin ist um 6:47 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Aylin auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
Ergebnis:
4 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Lina hat 66 Karten. Noah hat 9 Karten weniger als Lina. Wie viele Karten hat Noah?
Lösung zeigen
Ergebnis:
57 Karten
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Noah braucht 12 Minuten zum Umziehen und davor 32 Minuten für den Weg. Wann muss Noah spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15:16 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita zählt Jonas 10 Fahrzeuge und 29 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1 Fahrrad, 9 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,00 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 5 Kästen liegen je 8 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
40 Karten
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Aylin hat 55 Karten, Noah hat 80 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
135 Karten

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Der Beginn des Films fehlt
4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Der Preis für Erwachsene fehlt
den um 7:53 Uhr
18 Minuten
27 Minuten
101 Bücher
84 Sticker
658 Sticker
23 €
15:26 Uhr
25 Karten
7 Dreiräder
2 Kaninchen
2 Kaninchen
1,67 €
0,67 €
einzeln
16 Bücher
24 Sticker
29 Bücher
54 Karten
144 Karten
459 Murmeln
Die Tore im Finale fehlen
nicht lösbar
18 Minuten
60 m
Platz 11
36 €
Der Beginn des Films fehlt
4 Minuten
57 Karten
15:16 Uhr
1 Fahrrad, 9 Dreiräder
1,00 €
40 Karten
135 Karten
11:45 Uhr
8.000 m

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 10:15 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 10:15 + 1:30 = 11:45 Uhr
Ergebnis:
11:45 Uhr
●40
Rechne um: 8 km in m.
Lösung zeigen
1. 1 km = 1.000 m
2. 8 · 1.000 = 8.000 m
Ergebnis:
8.000 m

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 31 Tore geschossen. Zum Finale kamen 467 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 9 Spiele.
15 − 9 = 6
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Gebraucht: 9 Spiele.
15 − 9 = 6
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Ergebnis:

6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 110 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 14 Tore geschossen. Zum Finale kamen 470 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 11 Spiele.
2. 15 − 11 = 4
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
★3
27 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 15 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.

Schritt für Schritt

Zum Beispiel: ab 6:40 Uhr, an 7:06 Uhr.
Von 6:40 bis 7:06 Uhr sind es 26 Minuten.

Zum Beispiel: ab 6:40 Uhr, an 7:06 Uhr.
Von 6:40 bis 7:06 Uhr sind es 26 Minuten.

Ergebnis:

26 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 8:22 Uhr. Welchen Bus 100 muss Can spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 8:22 Uhr: 7:20, 7:40, 8:00, 8:20 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:22 Uhr: 7:20, 7:40, 8:00, 8:20 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 8:20 Uhr an.
3. Er fährt um 7:53 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:53 Uhr
●5
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:54 Uhr, an 7:12 Uhr.
2. Von 6:54 bis 7:12 Uhr sind es 18 Minuten.
Ergebnis:
18 Minuten
★6
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:45 Uhr, an 7:12 Uhr.
2. Von 6:45 bis 7:12 Uhr sind es 27 Minuten.
Ergebnis:
27 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Noah hat 41 Sticker. Ela hat 16 Sticker weniger als Noah. Wie viele Sticker hat Ela?

Schritt für Schritt

Ela hat weniger: der Streifen von Ela ist kürzer
41 − 16 = 25

Ela hat weniger: der Streifen von Ela ist kürzer
41 − 16 = 25

Ergebnis:

25 Sticker

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Noah hat 75 Bücher. Tim hat 26 Bücher mehr als Noah. Wie viele Bücher hat Tim?
So fängst du an:
Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
Lösung zeigen
1. Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
2. 75 + 26 = 101
Ergebnis:
101 Bücher
●8
Aylin hat 73 Sticker. Mia hat 11 Sticker mehr als Aylin. Wie viele Sticker hat Mia?
Lösung zeigen
1. Mia hat mehr: der Streifen von Mia ist länger
2. 73 + 11 = 84
Ergebnis:
84 Sticker
★9
Ben hat 563 Sticker. Noah hat 95 Sticker mehr als Ben. Wie viele Sticker hat Noah?
Lösung zeigen
1. Noah hat mehr: der Streifen von Noah ist länger
2. 563 + 95 = 658
Ergebnis:
658 Sticker

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Can braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Can spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 15:53 Uhr.
Noch 20 Minuten früher: 15:33 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 15:53 Uhr.
Noch 20 Minuten früher: 15:33 Uhr.

Ergebnis:

15:33 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Ben kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Ben 5 € geschenkt und hat jetzt 21 €. Wie viel Geld hatte Ben am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 21 € − 5 € = 16 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 21 € − 5 € = 16 €
2. Dann den Kauf: 16 € + 7 € = 23 €
Ergebnis:
23 €
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Milan braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 27 Minuten für den Weg. Wann muss Milan spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 15:53 Uhr.
2. Noch 27 Minuten früher: 15:26 Uhr.
Ergebnis:
15:26 Uhr
★12
Lea verschenkt 8 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Lea noch 5 Karten dazu. Jetzt sind es 39. Wie viele Karten waren es am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts: 39 − 5 = 34
2. Verdoppeln rückgängig: 34 : 2 = 17
3. Verschenken rückgängig: 17 + 8 = 25
Ergebnis:
25 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita zählt Noah 9 Fahrzeuge und 19 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
8 Fahrräder und 1 Dreirad: 8 · 2 + 1 · 3 = 19

Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
8 Fahrräder und 1 Dreirad: 8 · 2 + 1 · 3 = 19

Ergebnis:

8 Fahrräder, 1 Dreirad

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 8 Fahrzeuge mit 23 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 1 Fahrrad und 7 Dreiräder: 1 · 2 + 7 · 3 = 23
Ergebnis:
7 Dreiräder
●14
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 7 Tiere mit 18 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 5 Hühner und 2 Kaninchen: 5 · 2 + 2 · 4 = 18
Ergebnis:
2 Kaninchen
★15
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 16 Tiere mit 36 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 8 Hühner und 8 Kaninchen ergeben 48 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 14 Hühner und 2 Kaninchen: 14 · 2 + 2 · 4 = 36
Ergebnis:
2 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Bleistift kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 6 Bleistiften kostet 6,60 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bleistifte braucht?

Schritt für Schritt

6 einzeln: 6 · 1,20 € = 7,20 €
Packung: 6,60 €
Die Packung ist günstiger.

6 einzeln: 6 · 1,20 € = 7,20 €
Packung: 6,60 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
0,67 €
★18
Ein Bleistift kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 4,20 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
2. Packung: 4,20 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 3 Kästen liegen je 7 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?

Schritt für Schritt

3 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
3 · 7 = 21

3 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
3 · 7 = 21

Ergebnis:

21 Sticker

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 4 Kästen liegen je 4 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
So fängst du an:
4 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 4 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
2. 4 · 4 = 16
Ergebnis:
16 Bücher
●20
In 6 Kästen liegen je 4 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 6 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
2. 6 · 4 = 24
Ergebnis:
24 Sticker
★21
232 Bücher werden gleichmäßig auf 8 Kästen verteilt. Wie viele Bücher kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 232, 8 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 232 : 8 = 29
Ergebnis:
29 Bücher

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Aylin hat 25 Murmeln, Ela hat 66 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
25 + 66 = 91

Zwei Teile, gesucht das Ganze
25 + 66 = 91

Ergebnis:

91 Murmeln

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Noah hat 32 Karten, Ben hat 22 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 32 + 22 = 54
Ergebnis:
54 Karten
●23
Mia hat 66 Karten, Noah hat 78 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 66 + 78 = 144
Ergebnis:
144 Karten
★24
Ela und Ben haben zusammen 700 Murmeln. Ela hat 241 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Ben?
Lösung zeigen
1. Ganzes 700, ein Teil 241, gesucht der andere Teil
2. 700 − 241 = 459
Ergebnis:
459 Murmeln

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 18 Tore geschossen. Zum Finale kamen 177 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●26
Auf einem Schiff sind 39 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
Lösung zeigen
1. Die Angaben handeln von Tieren.
2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:44 Uhr, an 7:02 Uhr.
2. Von 6:44 bis 7:02 Uhr sind es 18 Minuten.
Ergebnis:
18 Minuten
●28
Entlang eines Weges stehen 13 Laternen im Abstand von 5 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 13 Laternen haben 12 Abstände dazwischen.
2. 12 · 5 m = 60 m
Ergebnis:
60 m
●29
Im Kino sitzt Zeynep auf Platz 7 von links. Zwischen Zeynep und Lina sitzen 3 Kinder, Lina sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Lina?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 7 ist Zeynep, dann 3 Plätze dazwischen.
2. 7 + 3 + 1 = 11
Ergebnis:
Platz 11
●30
Elias kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Elias 6 € geschenkt und hat jetzt 27 €. Wie viel Geld hatte Elias am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 27 € − 6 € = 21 €
2. Dann den Kauf: 21 € + 15 € = 36 €
Ergebnis:
36 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 24 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Aylin ist um 6:47 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Aylin auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
Ergebnis:
4 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Lina hat 66 Karten. Noah hat 9 Karten weniger als Lina. Wie viele Karten hat Noah?
Lösung zeigen
Ergebnis:
57 Karten
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Noah braucht 12 Minuten zum Umziehen und davor 32 Minuten für den Weg. Wann muss Noah spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15:16 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita zählt Jonas 10 Fahrzeuge und 29 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1 Fahrrad, 9 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,00 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 5 Kästen liegen je 8 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
40 Karten
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Aylin hat 55 Karten, Noah hat 80 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
135 Karten

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Der Beginn des Films fehlt
4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Der Preis für Erwachsene fehlt
den um 7:53 Uhr
18 Minuten
27 Minuten
101 Bücher
84 Sticker
658 Sticker
23 €
15:26 Uhr
25 Karten
7 Dreiräder
2 Kaninchen
2 Kaninchen
1,67 €
0,67 €
einzeln
16 Bücher
24 Sticker
29 Bücher
54 Karten
144 Karten
459 Murmeln
Die Tore im Finale fehlen
nicht lösbar
18 Minuten
60 m
Platz 11
36 €
Der Beginn des Films fehlt
4 Minuten
57 Karten
15:16 Uhr
1 Fahrrad, 9 Dreiräder
1,00 €
40 Karten
135 Karten
11:45 Uhr
8.000 m