Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Bruchterme und Bruchgleichungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Eine Pumpe füllt ein Becken allein in 6 Stunden. Mit einer zweiten Pumpe dauert es zusammen 4 Stunden. Wie lange braucht die zweite Pumpe allein?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Mit Probieren: 12 Stunden? Dann 1/6 + 1/12 – und ohne Brüche im Kopf lässt sich nicht entscheiden, ob 4 Stunden herauskommen. Jede neue Zahl kostet eine ganze Bruchrechnung. Die Zeit der zweiten Pumpe heißt x. Pro Stunde schaffen die Pumpen 1/6 und 1/x, zusammen 1/4. Aus 1/6 + 1/x = 1/4 wird mit dem Hauptnenner eine Gleichung ohne Brüche.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mit dem Hauptnenner multipliziert verschwinden die Brüche aus einer Gleichung, und zwar bei jedem Glied.

●35
Für welche Zahl x gilt (x + 4)/3 = x/2?
Lösung zeigen
1. Hauptnenner: 6. Beide Seiten mal 6
2. 2 · (x + 4) = 3x
3. 2x + 8 = 3x
4. Auf beiden Seiten − 2x: 8 = x
5. x = 8
Ergebnis:
x = 8
●36
Zeynep löst x/4 + 4 = x/3 und schreibt als ersten Schritt 3x + 4 = 4x. Was ist falsch? Rechne richtig weiter.
Lösung zeigen
1. Fehler: Die 4 wurde nicht mit 12 multipliziert.
2. Richtig: 3x + 48 = 4x
3. Auf beiden Seiten − 3x: 48 = x
4. x = 48
Ergebnis:
x = 48

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Summe wird zum Produkt, wenn man einen gemeinsamen Faktor ausklammert.

●37
Klammere aus: 25x + 35
Lösung zeigen
1. Gemeinsamer Faktor von 25 und 35: 5
2. 25x : 5 = 5x
3. 35 : 5 = 7
4. 5(5x + 7)
Ergebnis:
5(5x + 7)
●38
Faktorisiere: x² + 4x + 4
Lösung zeigen
1. Quadrate erkennen: x² und 4 = 2²
2. Mittelglied prüfen: 2 · x · 2 = 4x
3. (x + 2)²
Ergebnis:
(x + 2)²

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenBruchterm: ein Bruch mit Variable

Für Bruchterme gelten dieselben Regeln wie für Zahlenbrüche: erweitern, kürzen, auf den Hauptnenner bringen, mit dem Kehrwert teilen. Neu ist nur, dass der Nenner 0 werden kann. Darum steht zuerst die Frage, welche Zahlen verboten sind, und gekürzt werden nur Faktoren, nie Glieder einer Summe.

WeiterdenkenDenk nach

Setze x = 6 ein: Warum darf man (x + 6)/6 nicht zu x + 1 kürzen?

1Ich sage, für welche Zahlen ein Bruchterm nicht erklärt ist.

EntdeckenFrage

Warum zeigt der Taschenrechner bei 5 geteilt durch (3 − 3) einen Fehler an?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Teilen ist die Umkehrung des Malnehmens. 5 : 0 wäre eine Zahl, die mal 0 genau 5 ergibt. Aber jede Zahl mal 0 ist 0. Es gibt also keine solche Zahl. Darum darf in einem Bruchterm der Nenner nie 0 werden.

MerkenNenner nie 0

Durch Null teilt man nicht. Bei 5/(x − 3) darf x nicht 3 sein.

Man setzt den Nenner gleich 0 und schließt diese Zahl aus.

BeispielWo ein Bruchterm nicht erklärt ist

Welche Zahl darf man in x/(3x + 12) nicht für x einsetzen?

Schritt für Schritt

Der Nenner darf nicht 0 sein.
Nenner gleich 0 setzen: 3x + 12 = 0
Auf beiden Seiten − 12: 3x = −12
Durch 3 teilen: x = −4

Der Nenner darf nicht 0 sein.
Nenner gleich 0 setzen: 3x + 12 = 0
Auf beiden Seiten − 12: 3x = −12
Durch 3 teilen: x = −4

Ergebnis:

x = −4

AchtungNenner gleich 0 nicht beachtet

So nicht

x/(x − 3) = 3/(x − 3) → x = 3

So richtig

x = 3 macht den Nenner 0, also ist 3 verboten: keine Lösung

Setze den Nenner gleich 0. Diese Zahl ist verboten. Beim Lösen prüfst du am Ende, ob die Lösung verboten ist.

ÜbenJetzt du

○1
Für welche Zahl ist x/(4x + 20) nicht erklärt?
So fängst du an:
Der Nenner darf nicht 0 sein.
Lösung zeigen
1. Der Nenner darf nicht 0 sein.
2. Nenner gleich 0 setzen: 4x + 20 = 0
3. Auf beiden Seiten − 20: 4x = −20
4. Durch 4 teilen: x = −5
Ergebnis:
x = −5
●2
Für welche Zahl ist x/(2x − 10) nicht erklärt?
Lösung zeigen
1. Der Nenner darf nicht 0 sein.
2. Nenner gleich 0 setzen: 2x − 10 = 0
3. Auf beiden Seiten + 10: 2x = 10
4. Durch 2 teilen: x = 5
Ergebnis:
x = 5
★3
Für welche Zahlen ist 7/(x² − 16) nicht erklärt? Nenne alle.
Lösung zeigen
1. Der Nenner darf nicht 0 sein.
2. x² − 16 = 0, also x² = 16
3. Zwei Zahlen haben das Quadrat 16: 4 und −4
4. Oder mit der dritten binomischen Formel: x² − 16 = (x + 4) · (x − 4)
5. Nicht erlaubt sind beide Zahlen: x ≠ −4 und x ≠ 4.
Ergebnis:
x = −4 und x = 4

2Ich kürze Bruchterme und kürze nie aus Summen.

EntdeckenFrage

Stimmt es, dass (x + 6)/6 dasselbe ist wie x + 1?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Probier es mit x = 6: Links (6 + 6)/6 = 2, rechts 6 + 1 = 7. Das passt nicht. Gekürzt werden darf nur, wenn die 6 im ganzen Zähler steckt, zum Beispiel bei (6x + 12)/6 = x + 2.

MerkenKürzen nur aus Faktoren

Gekürzt werden nur Faktoren, nie Glieder. (3x + 6)/3 = x + 2, aber (x + 6)/6 bleibt.

Erst ausklammern, dann kürzen.

BeispielBruchterme kürzen

Kürze so weit wie möglich: 3x/(9x)

Schritt für Schritt

Gemeinsamer Faktor von Zähler und Nenner: 3x
3x : 3x = 1 und 9x : 3x = 3
Gekürzt für x ≠ 0

Gemeinsamer Faktor von Zähler und Nenner: 3x
3x : 3x = 1 und 9x : 3x = 3
Gekürzt für x ≠ 0

Ergebnis:

AchtungAus Summen gekürzt

So nicht

(x + 6)/6 = x + 1

So richtig

Mit x = 6: 12/6 = 2, aber 6 + 1 = 7. (x + 6)/6 lässt sich nicht kürzen

Kürzen darf man nur Faktoren. Klammere erst aus: 4x + 8 = 4 · (x + 2). Eine Summe wie x + 6 lässt sich durch 6 nicht kürzen. Probe mit einer Zahl für x.

ÜbenJetzt du

○4
Kürze so weit wie möglich: (6x + 36)/24
So fängst du an:
Zähler ausklammern: 6x + 36 = 6 · (x + 6)
Lösung zeigen
1. Zähler ausklammern: 6x + 36 = 6 · (x + 6)
2. Der Nenner 24 = 6 · 4
3. Den gemeinsamen Faktor 6 kürzen
Ergebnis:
(x + 6)/4
●5
Kürze so weit wie möglich: 2x/(4x)
Lösung zeigen
1. Gemeinsamer Faktor von Zähler und Nenner: 2x
2. 2x : 2x = 1 und 4x : 2x = 2
3. Gekürzt für x ≠ 0
Ergebnis:
12
★6
Kürze so weit wie möglich: 6x/(2x)
Lösung zeigen
1. Gemeinsamer Faktor von Zähler und Nenner: 2x
2. 6x : 2x = 3 und 2x : 2x = 1
3. Gekürzt für x ≠ 0
Ergebnis:
3

3Ich erweitere Bruchterme auf einen gemeinsamen Nenner.

EntdeckenFrage

Warum darf man bei einem Bruch oben und unten mit derselben Zahl malnehmen, ohne dass sich sein Wert ändert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein halber Kuchen bleibt ein halber Kuchen, auch wenn man ihn in doppelt so viele, halb so große Stücke schneidet: 1/2 = 2/4. Erweitern macht die Einteilung feiner, die Menge bleibt gleich. Mit x im Nenner gilt dasselbe, solange der Nenner nicht 0 wird.

MerkenErweitern

Zähler und Nenner werden mit demselben Term multipliziert.

3/x mit 4 erweitert ist 12/(4x). So bekommen Brüche denselben Nenner.

BeispielBruchterme erweitern

Erweitere (x + 1)/4 auf den Nenner 24.

Schritt für Schritt

4 mal 6 ist 24: Es wird mit 6 erweitert.
Zähler: (x + 1) · 6 = 6x + 6
Nenner: 4 · 6 = 24

4 mal 6 ist 24: Es wird mit 6 erweitert.
Zähler: (x + 1) · 6 = 6x + 6
Nenner: 4 · 6 = 24

Ergebnis:

(6x + 6)/24

AchtungBeim Erweitern nur eine Seite multipliziert

So nicht

3/(x + 2) mit 4 erweitert: 12/(x + 2)

So richtig

3/(x + 2) = 12/(4x + 8), denn auch der Nenner wird mal 4 genommen

Zähler UND Nenner bekommen denselben Faktor. Eine Summe im Nenner kommt dabei in eine Klammer.

ÜbenJetzt du

○7
Erweitere 7/x mit 4.
So fängst du an:
Erweitern heißt: Zähler UND Nenner mit derselben Zahl malnehmen.
Lösung zeigen
1. Erweitern heißt: Zähler UND Nenner mit derselben Zahl malnehmen.
2. Zähler: 7 · 4 = 28
3. Nenner: x · 4 = 4x
Ergebnis:
28/(4x)
●8
Erweitere 7/x mit 6.
Lösung zeigen
1. Erweitern heißt: Zähler UND Nenner mit derselben Zahl malnehmen.
2. Zähler: 7 · 6 = 42
3. Nenner: x · 6 = 6x
Ergebnis:
42/(6x)
★9
Erweitere 5/(x − 3) mit 2.
Lösung zeigen
1. Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen. Der Nenner ist eine Summe: Klammer setzen.
2. Zähler: 5 · 2 = 10
3. Nenner: 2 · (x − 3) = 2x − 6
Ergebnis:
10/(2x − 6)

4Ich addiere und subtrahiere Bruchterme.

EntdeckenFrage

Zwei Wasserhähne füllen eine Wanne, einer in 10 Minuten, der andere in 15. Warum dauert es zusammen nur 6 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Pro Minute füllt der erste 1/10, der zweite 1/15 der Wanne. Mit dem Hauptnenner 30 sind das 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6. Für die ganze Wanne braucht man also 6 Minuten. Zusammen geht es immer schneller als mit dem schnelleren allein.

MerkenAddieren und Subtrahieren

Erst auf den Hauptnenner bringen, dann nur die Zähler rechnen.

3/x + 5/(2x) = 6/(2x) + 5/(2x) = 11/(2x). Bei einem Minus gilt es für den ganzen Zähler.

BeispielBruchterme addieren und subtrahieren

Fasse zusammen: 2/x + 7/x

Schritt für Schritt

Die Nenner sind gleich. Nur die Zähler werden gerechnet, der Nenner bleibt.
2 + 7 = 9

Die Nenner sind gleich. Nur die Zähler werden gerechnet, der Nenner bleibt.
2 + 7 = 9

Ergebnis:

9/x

AchtungNenner addiert oder Minus nur zur Hälfte gerechnet

So nicht

3/x + 5/x = 8/(2x)

So richtig

Der Nenner bleibt: 3/x + 5/x = 8/x

Bei gleichem Nenner bleibt der Nenner stehen. Ein Minus vor dem Bruch gilt für den ganzen Zähler, setze eine Klammer.

ÜbenJetzt du

○10
Fasse zusammen: 1/x + 2/x
So fängst du an:
Die Nenner sind gleich. Nur die Zähler werden gerechnet, der Nenner bleibt.
Lösung zeigen
1. Die Nenner sind gleich. Nur die Zähler werden gerechnet, der Nenner bleibt.
2. 1 + 2 = 3
Ergebnis:
3/x
●11
Fasse zusammen: 2/x − 5/(2x)
Lösung zeigen
1. Hauptnenner: 2x. Der erste Bruch wird mit 2 erweitert.
2. 2/x = 4/(2x)
3. 4 − 5 = −1
Ergebnis:
−1/(2x)
★12
Fasse zusammen: 4/(x − 6) + 6/(x + 6)
Lösung zeigen
1. Hauptnenner: (x − 6)(x + 6) = x² − 36
2. Erster Bruch mal (x + 6): 4x + 24. Zweiter Bruch mal (x − 6): 6x − 36.
3. Zähler: 4x + 24 + (6x − 36) = 10x − 12
Ergebnis:
(10x − 12)/(x² − 36)

5Ich multipliziere und dividiere Bruchterme.

EntdeckenFrage

Wie viele Gläser mit einem Viertelliter kann man aus einer Flasche mit 3 Litern füllen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

3 geteilt durch 1/4 ist 12. Durch einen Bruch teilt man, indem man mit dem Kehrwert malnimmt: 3 · 4 = 12. Mit x bleibt es dasselbe: Geteilt durch 1/x heißt mal x.

MerkenMultiplizieren

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.

Vor dem Ausrechnen kürzen, was oben und unten als Faktor steht.

BeispielBruchterme multiplizieren

Multipliziere: 3/x · 4/x

Schritt für Schritt

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.
3 · 4 = 12
x · x ergibt x²

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.
3 · 4 = 12
x · x ergibt x²

Ergebnis:

12/x²

AchtungKehrwert vergessen oder falsch gekürzt

So nicht

(3/x) : (6/x) = 3/x · 6/x = 18/x²

So richtig

Mit dem Kehrwert: 3/x · x/6 = 1/2

Beim Teilen wird der zweite Bruch umgedreht und mit ihm multipliziert. Gekürzt werden nur Faktoren, die oben und unten stehen.

ÜbenJetzt du

○13
Multipliziere und kürze: 4x/7 · 4/(8x)
So fängst du an:
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Vor dem Ausrechnen kürzen.
Lösung zeigen
1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Vor dem Ausrechnen kürzen.
2. 16x/(56x)
3. x steht oben und unten: kürzen (x ≠ 0)
4. Es bleibt 27
Ergebnis:
27
●14
Multipliziere und kürze: 8x/7 · 1/(5x)
Lösung zeigen
1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Vor dem Ausrechnen kürzen.
2. 8x/(35x)
3. x steht oben und unten: kürzen (x ≠ 0)
4. Es bleibt 835
Ergebnis:
835
★15
Multipliziere und kürze: (x − 4)/8 · 4/(x − 4)
Lösung zeigen
1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Der Faktor (x − 4) steht oben und unten.
2. Kürzen (x ≠ 4): 48
Ergebnis:
12

6Ich löse Bruchgleichungen und prüfe die Definitionsmenge.

EntdeckenFrage

Eine Rechnung ergibt x = 3, und trotzdem sagt die Lehrerin: „Das ist keine Lösung.“ Wie kann das sein?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Setzt man 3 in den Nenner x − 3 ein, wird er 0. Durch 0 darf man nicht teilen, also ist 3 verboten. Beim Multiplizieren mit dem Nenner kann so eine Scheinlösung entstehen. Darum prüft man am Ende, ob die Lösung den Nenner 0 macht.

MerkenDividieren

Durch einen Bruch teilt man mit dem Kehrwert. (3/x) : (6/x) = 3/x · x/6 = 1/2.

BeispielBruchgleichungen mit x im Nenner

Löse: 35/x = 5

Schritt für Schritt

Definitionsmenge: x ≠ 0, denn x steht im Nenner.
Beide Seiten mal x: 35 = 5x
Durch 5 teilen: x = 7
Probe: 35 : 7 = 5

Definitionsmenge: x ≠ 0, denn x steht im Nenner.
Beide Seiten mal x: 35 = 5x
Durch 5 teilen: x = 7
Probe: 35 : 7 = 5

Ergebnis:

x = 7

AchtungGlied nicht mitmultipliziert oder Scheinlösung übernommen

So nicht

3/x + 2 = 5/x → mal x: 3 + 2 = 5

So richtig

Auch die 2 wird mit x multipliziert: 3 + 2x = 5, also x = 1

Jedes Glied wird mit dem Hauptnenner multipliziert, auch eine Zahl ohne Bruch. Zum Schluss prüfen, ob die Lösung den Nenner 0 macht.

ÜbenJetzt du

○16
Löse: 18/x = 6
So fängst du an:
Definitionsmenge: x ≠ 0, denn x steht im Nenner.
Lösung zeigen
1. Definitionsmenge: x ≠ 0, denn x steht im Nenner.
2. Beide Seiten mal x: 18 = 6x
3. Durch 6 teilen: x = 3
4. Probe: 18 : 3 = 6
Ergebnis:
x = 3
●17
Löse: 3/x + 7/x = 2
Lösung zeigen
1. Definitionsmenge: x ≠ 0.
2. Links zusammenfassen: 10/x = 2
3. Beide Seiten mal x: 10 = 2x
4. Durch 2 teilen: x = 5
5. Probe: 35 + 75 = 105 = 2
Ergebnis:
x = 5
★18
Löse: 4/x + 2 = −6/x
Lösung zeigen
1. Definitionsmenge: x ≠ 0.
2. Jedes Glied mal x, auch die 2: 4 + 2x = −6
3. 2x = −10
4. x = −5
5. Probe: 4/(−5) + 2 = 1,2 und −6/(−5) = 1,2
Ergebnis:
x = −5

7Ich löse Aufgaben zur gemeinsamen Arbeit mit einer Bruchgleichung.

EntdeckenFrage

Zwei Pumpen füllen ein Becken, die eine in 6 Stunden, die andere in 12. Warum dauert es zusammen keine 18 Stunden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Pro Stunde füllt die erste ein Sechstel, die zweite ein Zwölftel. Zusammen sind das 1/6 + 1/12 = 3/12 = 1/4 des Beckens. Für das ganze Becken braucht man also 4 Stunden. Die Zeiten addiert man nicht, die Anteile pro Stunde schon.

MerkenBruchgleichungen

Erst die verbotene Zahl notieren, dann mit dem Hauptnenner multiplizieren.

Jedes Glied zählt, auch eine Zahl ohne Bruch. Eine Lösung, die den Nenner 0 macht, ist keine Lösung.

BeispielGemeinsame Arbeit mit einer Bruchgleichung

Mira braucht allein 10 Stunden, um einen Stapel Prospekte zu falten. Emre braucht allein 40 Stunden. Wie lange brauchen beide zusammen?

Schritt für Schritt

Anteil pro Stunde: Mira schafft 1/10, Emre schafft 140 der Arbeit.
Zusammen in einer Stunde: 110 + 140 = 40400 + 10400 = 50400
Die Zeit ist der Kehrwert: 400 : 50 = 8
Probe: 810 + 840 = 1 (die ganze Arbeit)

Anteil pro Stunde: Mira schafft 1/10, Emre schafft 140 der Arbeit.
Zusammen in einer Stunde: 110 + 140 = 40400 + 10400 = 50400
Die Zeit ist der Kehrwert: 400 : 50 = 8
Probe: 810 + 840 = 1 (die ganze Arbeit)

Ergebnis:

8 Stunden

AchtungZeiten statt Anteile addiert

So nicht

Allein 6 und 12 Stunden, zusammen 6 + 12 = 18 Stunden

So richtig

1/6 + 1/12 = 3/12 = 1/4 pro Stunde, also 4 Stunden

Rechne mit dem, was pro Stunde geschafft wird: 1/a und 1/b. Deren Summe ist 1/t. Die Zeit ist der Kehrwert.

ÜbenJetzt du

○19
Aylin braucht allein 6 Stunden, um einen Stapel Prospekte zu falten. Tim braucht allein 30 Stunden. Wie lange brauchen beide zusammen?
So fängst du an:
Anteil pro Stunde: Aylin schafft 1/6, Tim schafft 130 der Arbeit.
Lösung zeigen
1. Anteil pro Stunde: Aylin schafft 1/6, Tim schafft 130 der Arbeit.
2. Zusammen in einer Stunde: 16 + 130 = 30180 + 6180 = 36180
3. Die Zeit ist der Kehrwert: 180 : 36 = 5
4. Probe: 56 + 530 = 1 (die ganze Arbeit)
Ergebnis:
5 Stunden
●20
Mira braucht allein 3 Stunden, um einen Stapel Prospekte zu falten. Emre braucht allein 6 Stunden. Wie lange brauchen beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Anteil pro Stunde: Mira schafft 1/3, Emre schafft 16 der Arbeit.
2. Zusammen in einer Stunde: 13 + 16 = 618 + 318 = 918
3. Die Zeit ist der Kehrwert: 18 : 9 = 2
4. Probe: 23 + 26 = 1 (die ganze Arbeit)
Ergebnis:
2 Stunden
★21
Aylin und Tim brauchen zusammen 3 Stunden, um ein Fahrrad zu reparieren. Aylin allein brauchte 4 Stunden. Wie lange bräuchte Tim allein?
Lösung zeigen
1. Gleichung mit x für die Zeit von Tim: 14 + 1/x = 13
2. Definitionsmenge: x ≠ 0. Anteil von Tim pro Stunde: 1/x = 13 − 14
3. 13 − 14 = 412 − 312 = 112
4. Kehrwert: x = 12 : 1 = 12
Ergebnis:
12 Stunden

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●22
Welche Zahl darf man in x/(2x + 16) nicht für x einsetzen?
Lösung zeigen
1. Der Nenner darf nicht 0 sein.
2. Nenner gleich 0 setzen: 2x + 16 = 0
3. Auf beiden Seiten − 16: 2x = −16
4. Durch 2 teilen: x = −8
Ergebnis:
x = −8
●23
Berechne den Wert von 36/(x − 4) für x = 10.
Lösung zeigen
1. x = 10 einsetzen: 36 : (10 − 4)
2. Nenner: 10 − 4 = 6
3. 36 : 6 = 6
Ergebnis:
6
●24
Kürze so weit wie möglich: (2x + 12)/14
Lösung zeigen
1. Zähler ausklammern: 2x + 12 = 2 · (x + 6)
2. Der Nenner 14 = 2 · 7
3. Den gemeinsamen Faktor 2 kürzen
Ergebnis:
(x + 6)/7
●25
Lea kürzt (4x + 32)/4 und schreibt x + 32. Stimmt das? Schreibe die richtig gekürzte Fassung.
Lösung zeigen
1. Fehler: Nur ein Glied wurde durch 4 geteilt. Es muss jedes Glied der Summe sein.
2. Richtig: (4x + 32) : 4 = x + 8
3. Probe mit x = 1: 364 = 9 und 1 + 8 = 9
Ergebnis:
x + 8
●26
Erweitere (x + 2)/4 auf den Nenner 24.
Lösung zeigen
1. 4 mal 6 ist 24: Es wird mit 6 erweitert.
2. Zähler: (x + 2) · 6 = 6x + 12
3. Nenner: 4 · 6 = 24
Ergebnis:
(6x + 12)/24
●27
Fasse zusammen: 6/x + 1/(x + 3)
Lösung zeigen
1. Hauptnenner: x · (x + 3). Der erste Bruch wird mit (x + 3) erweitert, der zweite mit x.
2. 6 · (x + 3) + 1 · x ergibt 6x + 18 + 1x
3. Zusammengefasst: 7x + 18
Ergebnis:
(7x + 18)/(x(x + 3))

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Nenner nie 0: Durch Null teilt man nicht. Bei 5/(x − 3) darf x nicht 3 sein.
Kürzen nur aus Faktoren: Gekürzt werden nur Faktoren, nie Glieder. (3x + 6)/3 = x + 2, aber (x + 6)/6 bleibt.
Erweitern: Zähler und Nenner werden mit demselben Term multipliziert.
Addieren und Subtrahieren: Erst auf den Hauptnenner bringen, dann nur die Zähler rechnen.
Multiplizieren: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.
Dividieren: Durch einen Bruch teilt man mit dem Kehrwert. (3/x) : (6/x) = 3/x · x/6 = 1/2.
Bruchgleichungen: Erst die verbotene Zahl notieren, dann mit dem Hauptnenner multiplizieren.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich sage, für welche Zahlen ein Bruchterm nicht erklärt ist.
28
Für welche Zahl ist 4x/(5x + 15) nicht erklärt?
Lösung zeigen
Ergebnis:
x = −3
Ich kürze Bruchterme und kürze nie aus Summen.
29
Kürze so weit wie möglich: (5x + 25)/20
Lösung zeigen
Ergebnis:
(x + 5)/4
Ich erweitere Bruchterme auf einen gemeinsamen Nenner.
30
Erweitere 6/x mit 5.
Lösung zeigen
Ergebnis:
30/(5x)
Ich addiere und subtrahiere Bruchterme.
31
Fasse zusammen: 6/x − 9/x
Lösung zeigen
Ergebnis:
−3/x
Ich multipliziere und dividiere Bruchterme.
32
Multipliziere und kürze: 6x/6 · 3/(9x)
Lösung zeigen
Ergebnis:
13
Ich löse Bruchgleichungen und prüfe die Definitionsmenge.
33
Löse: 8/x = 4
Lösung zeigen
Ergebnis:
x = 2
Ich löse Aufgaben zur gemeinsamen Arbeit mit einer Bruchgleichung.
34
Mira braucht allein 16 Stunden, um die Turnhalle aufzuräumen. Emre braucht allein 48 Stunden. Wie lange brauchen beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
12 Stunden

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Eine Pumpe füllt ein Becken allein in 6 Stunden. Mit einer zweiten Pumpe dauert es zusammen 4 Stunden. Wie lange braucht die zweite Pumpe allein?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Bruchgleichung: mit dem Nenner multiplizieren, dann ist x aus dem Nenner heraus.

Wo brauchst du das?

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Zwei Helfer teilen sich eine Arbeit: Wer schafft in einer Stunde wie viel, und wann sind beide fertig? Beruf: Laufzeiten gemeinsam arbeitender Maschinen und Pumpen und Formeln mit Brüchen im Labor und in der Werkstatt.

Wörter

Ausklammern: den gemeinsamen Faktor vor die Klammer holen
Bruch: ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner: die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Term: eine Rechnung ohne Gleichheitszeichen
Zähler: die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Gleichungen und Formeln, Terme mit Klammern und binomische Formeln

Lösungen

x = −5
x = 5
x = −4 und x = 4
(x + 6)/4
12
3
28/(4x)
42/(6x)
10/(2x − 6)
3/x
−1/(2x)
(10x − 12)/(x² − 36)
27
835
12
x = 3
x = 5
x = −5
5 Stunden
2 Stunden
12 Stunden
x = −8
6
(x + 6)/7
x + 8
(6x + 12)/24
(7x + 18)/(x(x + 3))
x = −3
(x + 5)/4
30/(5x)
−3/x
13
x = 2
12 Stunden
x = 8
x = 48
5(5x + 7)
(x + 2)²