Bruchterme und Bruchgleichungen
Das lernst du
- Ich sage, für welche Zahlen ein Bruchterm nicht erklärt ist.
- Ich kürze Bruchterme und kürze nie aus Summen.
- Ich erweitere Bruchterme auf einen gemeinsamen Nenner.
- Ich addiere und subtrahiere Bruchterme.
- Ich multipliziere und dividiere Bruchterme.
- Ich löse Bruchgleichungen und prüfe die Definitionsmenge.
- Ich löse Aufgaben zur gemeinsamen Arbeit mit einer Bruchgleichung.
Merksätze
Durch Null teilt man nicht. Bei 5/(x − 3) darf x nicht 3 sein.
Man setzt den Nenner gleich 0 und schließt diese Zahl aus.
Gekürzt werden nur Faktoren, nie Glieder. (3x + 6)/3 = x + 2, aber (x + 6)/6 bleibt.
Erst ausklammern, dann kürzen.
Zähler und Nenner werden mit demselben Term multipliziert.
3/x mit 4 erweitert ist 12/(4x). So bekommen Brüche denselben Nenner.
Erst auf den Hauptnenner bringen, dann nur die Zähler rechnen.
3/x + 5/(2x) = 6/(2x) + 5/(2x) = 11/(2x). Bei einem Minus gilt es für den ganzen Zähler.
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.
Vor dem Ausrechnen kürzen, was oben und unten als Faktor steht.
Durch einen Bruch teilt man mit dem Kehrwert. (3/x) : (6/x) = 3/x · x/6 = 1/2.
Erst die verbotene Zahl notieren, dann mit dem Hauptnenner multiplizieren.
Jedes Glied zählt, auch eine Zahl ohne Bruch. Eine Lösung, die den Nenner 0 macht, ist keine Lösung.
Wer allein a Stunden braucht, schafft 1/a der Arbeit pro Stunde.
Zusammen addiert man die Anteile: 1/a + 1/b = 1/t. Die Zeiten selbst addiert man nicht.
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
Für welche Zahl ist x/(4x + 20) nicht erklärt?
- Der Nenner darf nicht 0 sein.
- Nenner gleich 0 setzen: 4x + 20 = 0
- Auf beiden Seiten − 20: 4x = −20
- Durch 4 teilen: x = −5
Ergebnis: x = −5
Berechne den Wert von 30/(x − 1) für x = 7.
- x = 7 einsetzen: 30 : (7 − 1)
- Nenner: 7 − 1 = 6
- 30 : 6 = 5
Ergebnis: 5
Kürze so weit wie möglich: (6x − 42)/42
- Zähler ausklammern: 6x − 42 = 6 · (x − 7)
- Der Nenner 42 = 6 · 7
- Den gemeinsamen Faktor 6 kürzen
Ergebnis: (x − 7)/7
Noah kürzt (6x + 30)/6 und schreibt x + 30. Stimmt das? Schreibe die richtig gekürzte Fassung.
- Fehler: Nur ein Glied wurde durch 6 geteilt. Es muss jedes Glied der Summe sein.
- Richtig: (6x + 30) : 6 = x + 5
- Probe mit x = 1: 366 = 6 und 1 + 5 = 6
Ergebnis: x + 5
Wörter
- Gleichung
- zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
- Bruch
- ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
- Nenner
- die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
x/(x − 3) = 3/(x − 3) → x = 3
x = 3 macht den Nenner 0, also ist 3 verboten: keine Lösung
Setze den Nenner gleich 0. Diese Zahl ist verboten. Beim Lösen prüfst du am Ende, ob die Lösung verboten ist.
(x + 6)/6 = x + 1
Mit x = 6: 12/6 = 2, aber 6 + 1 = 7. (x + 6)/6 lässt sich nicht kürzen
Kürzen darf man nur Faktoren. Klammere erst aus: 4x + 8 = 4 · (x + 2). Eine Summe wie x + 6 lässt sich durch 6 nicht kürzen. Probe mit einer Zahl für x.
3/(x + 2) mit 4 erweitert: 12/(x + 2)
3/(x + 2) = 12/(4x + 8), denn auch der Nenner wird mal 4 genommen
Zähler UND Nenner bekommen denselben Faktor. Eine Summe im Nenner kommt dabei in eine Klammer.
3/x + 5/x = 8/(2x)
Der Nenner bleibt: 3/x + 5/x = 8/x
Bei gleichem Nenner bleibt der Nenner stehen. Ein Minus vor dem Bruch gilt für den ganzen Zähler, setze eine Klammer.
(3/x) : (6/x) = 3/x · 6/x = 18/x²
Mit dem Kehrwert: 3/x · x/6 = 1/2
Beim Teilen wird der zweite Bruch umgedreht und mit ihm multipliziert. Gekürzt werden nur Faktoren, die oben und unten stehen.
3/x + 2 = 5/x → mal x: 3 + 2 = 5
Auch die 2 wird mit x multipliziert: 3 + 2x = 5, also x = 1
Jedes Glied wird mit dem Hauptnenner multipliziert, auch eine Zahl ohne Bruch. Zum Schluss prüfen, ob die Lösung den Nenner 0 macht.
Allein 6 und 12 Stunden, zusammen 6 + 12 = 18 Stunden
1/6 + 1/12 = 3/12 = 1/4 pro Stunde, also 4 Stunden
Rechne mit dem, was pro Stunde geschafft wird: 1/a und 1/b. Deren Summe ist 1/t. Die Zeit ist der Kehrwert.
Wo brauchst du das?
Zwei Helfer teilen sich eine Arbeit: Wer schafft in einer Stunde wie viel, und wann sind beide fertig? Beruf: Laufzeiten gemeinsam arbeitender Maschinen und Pumpen und Formeln mit Brüchen im Labor und in der Werkstatt.
Weiter lesen und ausprobieren – auf fremden Seiten
- Serlo: Erklärungen und Aufgaben zu „Terme und Gleichungen“ (CC BY-SA 4.0 – nur verlinkt)
- PhET-Simulation (University of Colorado Boulder): Gleichungen als Waage (CC BY-NC 4.0 – nur verlinkt)
- IQB-Beispielaufgaben: Freigegebene VERA-Aufgaben mit Lösungen und Kompetenzstufen (für den Unterricht freigegeben – nur verlinkt)
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