Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 9:30 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 9:30 + 1:30 = 11:00 Uhr
Ergebnis:
11:00 Uhr
●40
Rechne um: 8 m in cm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 100 cm
2. 8 · 100 = 800 cm
Ergebnis:
800 cm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 23 Tore geschossen. Zum Finale kamen 283 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 6 Spiele.
15 − 6 = 9
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Gebraucht: 6 Spiele.
15 − 6 = 9
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Ergebnis:

9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 37 Tore geschossen. Zum Finale kamen 184 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●2
Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 120 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 120 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 31 Tore geschossen. Zum Finale kamen 358 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:17 Uhr. Welchen Bus 248 muss Emma spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:17 Uhr: 7:02, 7:12 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:12 Uhr an.
Er fährt um 6:51 Uhr ab.

Ankunft vor 7:17 Uhr: 7:02, 7:12 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:12 Uhr an.
Er fährt um 6:51 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 6:51 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
So fängst du an:
Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 7:02 Uhr.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 7:02 Uhr.
2. Von 6:39 bis 7:02 Uhr sind es 23 Minuten.
Ergebnis:
23 Minuten
●5
Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 7:05 Uhr.
2. Von 6:39 bis 7:05 Uhr sind es 26 Minuten.
Ergebnis:
26 Minuten
★6
Lina braucht 4 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus X34 um 7:09 Uhr nehmen. Wann muss Lina spätestens los, und wann ist Lina an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 4 Minuten vor 7:09 Uhr, also 7:05 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:32 Uhr.
Ergebnis:
los um 7:05 Uhr, an um 7:32 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Aylin hat 90 Karten. Mia hat 22 Karten mehr als Aylin. Wie viele Karten hat Mia?

Schritt für Schritt

Mia hat mehr: der Streifen von Mia ist länger
90 + 22 = 112

Mia hat mehr: der Streifen von Mia ist länger
90 + 22 = 112

Ergebnis:

112 Karten

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Ela hat 70 Bücher. Aylin hat 6 Bücher mehr als Ela. Wie viele Bücher hat Aylin?
So fängst du an:
Aylin hat mehr: der Streifen von Aylin ist länger
Lösung zeigen
1. Aylin hat mehr: der Streifen von Aylin ist länger
2. 70 + 6 = 76
Ergebnis:
76 Bücher
●8
Aylin hat 75 Bücher. Ela hat 12 Bücher weniger als Aylin. Wie viele Bücher hat Ela?
Lösung zeigen
1. Ela hat weniger: der Streifen von Ela ist kürzer
2. 75 − 12 = 63
Ergebnis:
63 Bücher
★9
Tim hat 496 Murmeln. Ela hat 84 Murmeln mehr als Tim. Wie viele Murmeln hat Ela?
Lösung zeigen
1. Ela hat mehr: der Streifen von Ela ist länger
2. 496 + 84 = 580
Ergebnis:
580 Murmeln

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Hanna kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Hanna 11 € geschenkt und hat jetzt 19 €. Wie viel Geld hatte Hanna am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 19 € − 11 € = 8 €
Dann den Kauf: 8 € + 8 € = 16 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 19 € − 11 € = 8 €
Dann den Kauf: 8 € + 8 € = 16 €

Ergebnis:

16 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Noah braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 24 Minuten für den Weg. Wann muss Noah spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 16:08 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 16:08 Uhr.
2. Noch 24 Minuten früher: 15:44 Uhr.
Ergebnis:
15:44 Uhr
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Lina braucht 11 Minuten zum Umziehen und davor 23 Minuten für den Weg. Wann muss Lina spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 15:49 Uhr.
2. Noch 23 Minuten früher: 15:26 Uhr.
Ergebnis:
15:26 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Lina braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 33 Minuten für den Weg. Wann muss Lina spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 16:51 Uhr.
2. Noch 33 Minuten früher: 16:18 Uhr.
Ergebnis:
16:18 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 5 Fahrzeuge mit 13 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
2 Fahrräder und 3 Dreiräder: 2 · 2 + 3 · 3 = 13

Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
2 Fahrräder und 3 Dreiräder: 2 · 2 + 3 · 3 = 13

Ergebnis:

3 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 6 Tische mit 32 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 2 Vierertische und 4 Sechsertische: 2 · 4 + 4 · 6 = 32
Ergebnis:
4 Sechsertische
●14
Im Hof der Kita zählt Elias 10 Fahrzeuge und 21 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 9 Fahrräder und 1 Dreirad: 9 · 2 + 1 · 3 = 21
Ergebnis:
9 Fahrräder, 1 Dreirad
★15
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 17 Tiere mit 48 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 9 Hühner und 8 Kaninchen ergeben 50 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 10 Hühner und 7 Kaninchen: 10 · 2 + 7 · 4 = 48
Ergebnis:
7 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

0,67 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 6,60 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?
So fängst du an:
4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
2. Packung: 6,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
Ergebnis:
1,00 €
★18
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,33 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 3 Kästen liegen je 3 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?

Schritt für Schritt

3 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
3 · 3 = 9

3 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
3 · 3 = 9

Ergebnis:

9 Murmeln

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 7 Kästen liegen je 5 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
So fängst du an:
7 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 7 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
2. 7 · 5 = 35
Ergebnis:
35 Karten
●20
In 3 Kästen liegen je 3 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 3 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
2. 3 · 3 = 9
Ergebnis:
9 Sticker
★21
168 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kästen verteilt. Wie viele Sticker kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 168, 6 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 168 : 6 = 28
Ergebnis:
28 Sticker

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Aylin hat 58 Karten, Jonas hat 53 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
58 + 53 = 111

Zwei Teile, gesucht das Ganze
58 + 53 = 111

Ergebnis:

111 Karten

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Mia hat 24 Bücher, Aylin hat 35 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 24 + 35 = 59
Ergebnis:
59 Bücher
●23
Lina hat 74 Karten, Aylin hat 34 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 74 + 34 = 108
Ergebnis:
108 Karten
★24
Ela und Mia haben zusammen 769 Sticker. Ela hat 325 Sticker. Wie viele Sticker hat Mia?
Lösung zeigen
1. Ganzes 769, ein Teil 325, gesucht der andere Teil
2. 769 − 325 = 444
Ergebnis:
444 Sticker

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 25 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 25 Kinder und 4 € je Karte.
2. 25 · 4 € = 100 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
100 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●26
Ein Regal hat 9 Böden. Auf jedem stehen 17 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: 9 Böden, 17 Bücher je Boden.
2. Über die Seiten steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:40 Uhr, an 6:59 Uhr.
2. Von 6:40 bis 6:59 Uhr sind es 19 Minuten.
Ergebnis:
19 Minuten
●28
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Hanna sagt: „30 m Zaun mit einem Pfahl alle 5 m braucht 6 Pfähle.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 30 : 5 = 6 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 7.
Ergebnis:
Nein, 7 Pfähle
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Emma an 14. Stelle von vorn und an 9. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 13 Kinder, dann Emma, dahinter 8 Kinder.
2. 13 + 1 + 8 = 22
Ergebnis:
22 Kinder
●30
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Noah braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 28 Minuten für den Weg. Wann muss Noah spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 15:45 Uhr.
2. Noch 28 Minuten früher: 15:17 Uhr.
Ergebnis:
15:17 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
22 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 13 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
154 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Lea ist um 7:12 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lea auf den nächsten Bus X34?
Lösung zeigen
Ergebnis:
3 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Noah hat 47 Karten. Jonas hat 21 Karten mehr als Noah. Wie viele Karten hat Jonas?
Lösung zeigen
Ergebnis:
68 Karten
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Sofia braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 31 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
16:14 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
In der Mensa zählt Noah 10 Tische und 42 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
9 Vierertische, 1 Sechsertisch
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,33 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 5 Kästen liegen je 9 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
45 Sticker
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Jonas hat 23 Karten, Lina hat 26 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
49 Karten

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Die Tore im Finale fehlen
Der Beginn des Films fehlt
Die Tore im Finale fehlen
23 Minuten
26 Minuten
los um 7:05 Uhr, an um 7:32 Uhr
76 Bücher
63 Bücher
580 Murmeln
15:44 Uhr
15:26 Uhr
16:18 Uhr
4 Sechsertische
9 Fahrräder, 1 Dreirad
7 Kaninchen
einzeln
1,00 €
1,33 €
35 Karten
9 Sticker
28 Sticker
59 Bücher
108 Karten
444 Sticker
100 €, die Filmdauer brauche ich nicht
nicht lösbar
19 Minuten
Nein, 7 Pfähle
22 Kinder
15:17 Uhr
154 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
3 Minuten
68 Karten
16:14 Uhr
9 Vierertische, 1 Sechsertisch
1,33 €
45 Sticker
49 Karten
11:00 Uhr
800 cm

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 9:30 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 9:30 + 1:30 = 11:00 Uhr
Ergebnis:
11:00 Uhr
●40
Rechne um: 8 m in cm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 100 cm
2. 8 · 100 = 800 cm
Ergebnis:
800 cm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 23 Tore geschossen. Zum Finale kamen 283 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 6 Spiele.
15 − 6 = 9
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Gebraucht: 6 Spiele.
15 − 6 = 9
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Ergebnis:

9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 37 Tore geschossen. Zum Finale kamen 184 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●2
Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 120 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 120 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 31 Tore geschossen. Zum Finale kamen 358 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:17 Uhr. Welchen Bus 248 muss Emma spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:17 Uhr: 7:02, 7:12 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:12 Uhr an.
Er fährt um 6:51 Uhr ab.

Ankunft vor 7:17 Uhr: 7:02, 7:12 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:12 Uhr an.
Er fährt um 6:51 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 6:51 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
So fängst du an:
Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 7:02 Uhr.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 7:02 Uhr.
2. Von 6:39 bis 7:02 Uhr sind es 23 Minuten.
Ergebnis:
23 Minuten
●5
Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 7:05 Uhr.
2. Von 6:39 bis 7:05 Uhr sind es 26 Minuten.
Ergebnis:
26 Minuten
★6
Lina braucht 4 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus X34 um 7:09 Uhr nehmen. Wann muss Lina spätestens los, und wann ist Lina an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 4 Minuten vor 7:09 Uhr, also 7:05 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:32 Uhr.
Ergebnis:
los um 7:05 Uhr, an um 7:32 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Aylin hat 90 Karten. Mia hat 22 Karten mehr als Aylin. Wie viele Karten hat Mia?

Schritt für Schritt

Mia hat mehr: der Streifen von Mia ist länger
90 + 22 = 112

Mia hat mehr: der Streifen von Mia ist länger
90 + 22 = 112

Ergebnis:

112 Karten

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Ela hat 70 Bücher. Aylin hat 6 Bücher mehr als Ela. Wie viele Bücher hat Aylin?
So fängst du an:
Aylin hat mehr: der Streifen von Aylin ist länger
Lösung zeigen
1. Aylin hat mehr: der Streifen von Aylin ist länger
2. 70 + 6 = 76
Ergebnis:
76 Bücher
●8
Aylin hat 75 Bücher. Ela hat 12 Bücher weniger als Aylin. Wie viele Bücher hat Ela?
Lösung zeigen
1. Ela hat weniger: der Streifen von Ela ist kürzer
2. 75 − 12 = 63
Ergebnis:
63 Bücher
★9
Tim hat 496 Murmeln. Ela hat 84 Murmeln mehr als Tim. Wie viele Murmeln hat Ela?
Lösung zeigen
1. Ela hat mehr: der Streifen von Ela ist länger
2. 496 + 84 = 580
Ergebnis:
580 Murmeln

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Hanna kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Hanna 11 € geschenkt und hat jetzt 19 €. Wie viel Geld hatte Hanna am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 19 € − 11 € = 8 €
Dann den Kauf: 8 € + 8 € = 16 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 19 € − 11 € = 8 €
Dann den Kauf: 8 € + 8 € = 16 €

Ergebnis:

16 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Noah braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 24 Minuten für den Weg. Wann muss Noah spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 16:08 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 16:08 Uhr.
2. Noch 24 Minuten früher: 15:44 Uhr.
Ergebnis:
15:44 Uhr
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Lina braucht 11 Minuten zum Umziehen und davor 23 Minuten für den Weg. Wann muss Lina spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 15:49 Uhr.
2. Noch 23 Minuten früher: 15:26 Uhr.
Ergebnis:
15:26 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Lina braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 33 Minuten für den Weg. Wann muss Lina spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 16:51 Uhr.
2. Noch 33 Minuten früher: 16:18 Uhr.
Ergebnis:
16:18 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 5 Fahrzeuge mit 13 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
2 Fahrräder und 3 Dreiräder: 2 · 2 + 3 · 3 = 13

Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
2 Fahrräder und 3 Dreiräder: 2 · 2 + 3 · 3 = 13

Ergebnis:

3 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 6 Tische mit 32 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 2 Vierertische und 4 Sechsertische: 2 · 4 + 4 · 6 = 32
Ergebnis:
4 Sechsertische
●14
Im Hof der Kita zählt Elias 10 Fahrzeuge und 21 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 9 Fahrräder und 1 Dreirad: 9 · 2 + 1 · 3 = 21
Ergebnis:
9 Fahrräder, 1 Dreirad
★15
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 17 Tiere mit 48 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 9 Hühner und 8 Kaninchen ergeben 50 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 10 Hühner und 7 Kaninchen: 10 · 2 + 7 · 4 = 48
Ergebnis:
7 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

0,67 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 6,60 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?
So fängst du an:
4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
2. Packung: 6,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
Ergebnis:
1,00 €
★18
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,33 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 3 Kästen liegen je 3 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?

Schritt für Schritt

3 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
3 · 3 = 9

3 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
3 · 3 = 9

Ergebnis:

9 Murmeln

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 7 Kästen liegen je 5 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
So fängst du an:
7 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 7 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
2. 7 · 5 = 35
Ergebnis:
35 Karten
●20
In 3 Kästen liegen je 3 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 3 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
2. 3 · 3 = 9
Ergebnis:
9 Sticker
★21
168 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kästen verteilt. Wie viele Sticker kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 168, 6 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 168 : 6 = 28
Ergebnis:
28 Sticker

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Aylin hat 58 Karten, Jonas hat 53 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
58 + 53 = 111

Zwei Teile, gesucht das Ganze
58 + 53 = 111

Ergebnis:

111 Karten

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Mia hat 24 Bücher, Aylin hat 35 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 24 + 35 = 59
Ergebnis:
59 Bücher
●23
Lina hat 74 Karten, Aylin hat 34 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 74 + 34 = 108
Ergebnis:
108 Karten
★24
Ela und Mia haben zusammen 769 Sticker. Ela hat 325 Sticker. Wie viele Sticker hat Mia?
Lösung zeigen
1. Ganzes 769, ein Teil 325, gesucht der andere Teil
2. 769 − 325 = 444
Ergebnis:
444 Sticker

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 25 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 25 Kinder und 4 € je Karte.
2. 25 · 4 € = 100 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
100 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●26
Ein Regal hat 9 Böden. Auf jedem stehen 17 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: 9 Böden, 17 Bücher je Boden.
2. Über die Seiten steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:40 Uhr, an 6:59 Uhr.
2. Von 6:40 bis 6:59 Uhr sind es 19 Minuten.
Ergebnis:
19 Minuten
●28
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Hanna sagt: „30 m Zaun mit einem Pfahl alle 5 m braucht 6 Pfähle.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 30 : 5 = 6 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 7.
Ergebnis:
Nein, 7 Pfähle
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Emma an 14. Stelle von vorn und an 9. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 13 Kinder, dann Emma, dahinter 8 Kinder.
2. 13 + 1 + 8 = 22
Ergebnis:
22 Kinder
●30
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Noah braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 28 Minuten für den Weg. Wann muss Noah spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 15:45 Uhr.
2. Noch 28 Minuten früher: 15:17 Uhr.
Ergebnis:
15:17 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
22 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 13 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
154 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Lea ist um 7:12 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lea auf den nächsten Bus X34?
Lösung zeigen
Ergebnis:
3 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Noah hat 47 Karten. Jonas hat 21 Karten mehr als Noah. Wie viele Karten hat Jonas?
Lösung zeigen
Ergebnis:
68 Karten
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Sofia braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 31 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
16:14 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
In der Mensa zählt Noah 10 Tische und 42 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
9 Vierertische, 1 Sechsertisch
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,33 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 5 Kästen liegen je 9 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
45 Sticker
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Jonas hat 23 Karten, Lina hat 26 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
49 Karten

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Die Tore im Finale fehlen
Der Beginn des Films fehlt
Die Tore im Finale fehlen
23 Minuten
26 Minuten
los um 7:05 Uhr, an um 7:32 Uhr
76 Bücher
63 Bücher
580 Murmeln
15:44 Uhr
15:26 Uhr
16:18 Uhr
4 Sechsertische
9 Fahrräder, 1 Dreirad
7 Kaninchen
einzeln
1,00 €
1,33 €
35 Karten
9 Sticker
28 Sticker
59 Bücher
108 Karten
444 Sticker
100 €, die Filmdauer brauche ich nicht
nicht lösbar
19 Minuten
Nein, 7 Pfähle
22 Kinder
15:17 Uhr
154 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
3 Minuten
68 Karten
16:14 Uhr
9 Vierertische, 1 Sechsertisch
1,33 €
45 Sticker
49 Karten
11:00 Uhr
800 cm