Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 10:15 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 10:15 + 1:00 = 11:15 Uhr
Ergebnis:
11:15 Uhr
●40
Rechne um: 12 kg in g.
Lösung zeigen
1. 1 kg = 1.000 g
2. 12 · 1.000 = 12.000 g
Ergebnis:
12.000 g

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 95 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 95 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Ergebnis:

Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 15 Tore geschossen. Zum Finale kamen 366 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●2
Die 5b fährt mit 30 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 30 Kinder und 6 € je Karte.
2. 30 · 6 € = 180 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
180 €, die Filmdauer brauche ich nicht
★3
28 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viele Kilometer fahren alle Kinder zusammen hin und zurück?
Lösung zeigen
1. Ein Kind fährt hin und zurück: 2 · 9 km = 18 km.
2. 28 Kinder: 28 · 18 km = 504 km
3. Nicht gebraucht: Eintritt und Lehrkräfte.
Ergebnis:
504 km

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Lea ist um 6:52 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lea auf den nächsten Bus X34?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
Von 6:52 bis 7:01 Uhr sind es 9 Minuten.

Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
Von 6:52 bis 7:01 Uhr sind es 9 Minuten.

Ergebnis:

9 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:46 Uhr. Welchen Bus 248 muss Zeynep spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:46 Uhr: 6:57, 7:17, 7:37 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:46 Uhr: 6:57, 7:17, 7:37 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:37 Uhr an.
3. Er fährt um 7:23 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:23 Uhr
●5
Der Unterricht beginnt um 8:20 Uhr. Welchen Bus 248 muss Lea spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:20 Uhr: 7:01, 7:21, 7:41, 8:01 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 8:01 Uhr an.
3. Er fährt um 7:48 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:48 Uhr
★6
Der Unterricht beginnt um 7:53 Uhr. Welchen Bus 248 muss Hanna spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:53 Uhr: 7:14, 7:24, 7:34, 7:44 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:44 Uhr an.
3. Er fährt um 7:18 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:18 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Tim hat 83 Bücher. Aylin hat 27 Bücher weniger als Tim. Wie viele Bücher hat Aylin?

Schritt für Schritt

Aylin hat weniger: der Streifen von Aylin ist kürzer
83 − 27 = 56

Aylin hat weniger: der Streifen von Aylin ist kürzer
83 − 27 = 56

Ergebnis:

56 Bücher

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Noah hat 46 Bücher. Lina hat 18 Bücher mehr als Noah. Wie viele Bücher hat Lina?
So fängst du an:
Lina hat mehr: der Streifen von Lina ist länger
Lösung zeigen
1. Lina hat mehr: der Streifen von Lina ist länger
2. 46 + 18 = 64
Ergebnis:
64 Bücher
●8
Ben hat 46 Sticker. Jonas hat 14 Sticker mehr als Ben. Wie viele Sticker hat Jonas?
Lösung zeigen
1. Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
2. 46 + 14 = 60
Ergebnis:
60 Sticker
★9
Noah hat 273 Bücher, Ben hat 435 Bücher. Wie viele Bücher hat Ben mehr?
Lösung zeigen
1. Der Unterschied ist der Rest zwischen den Streifen
2. 435 − 273 = 162
Ergebnis:
162 Bücher

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Hanna braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 26 Minuten für den Weg. Wann muss Hanna spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 15:25 Uhr.
Noch 26 Minuten früher: 14:59 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 15:25 Uhr.
Noch 26 Minuten früher: 14:59 Uhr.

Ergebnis:

14:59 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Ben braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 30 Minuten für den Weg. Wann muss Ben spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 16:09 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 16:09 Uhr.
2. Noch 30 Minuten früher: 15:39 Uhr.
Ergebnis:
15:39 Uhr
●11
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Zeynep braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 33 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 16:51 Uhr.
2. Noch 33 Minuten früher: 16:18 Uhr.
Ergebnis:
16:18 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Emma braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 18 Minuten für den Weg. Wann muss Emma spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 15:22 Uhr.
2. Noch 18 Minuten früher: 15:04 Uhr.
Ergebnis:
15:04 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita zählt Mia 8 Fahrzeuge und 21 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3 Fahrräder und 5 Dreiräder: 3 · 2 + 5 · 3 = 21

Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3 Fahrräder und 5 Dreiräder: 3 · 2 + 5 · 3 = 21

Ergebnis:

3 Fahrräder, 5 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa zählt Lea 5 Tische und 28 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Vierertisch und 4 Sechsertische: 1 · 4 + 4 · 6 = 28
Ergebnis:
1 Vierertisch, 4 Sechsertische
●14
In der Mensa zählt Mia 6 Tische und 30 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
2. Das passt genau.
3. 3 Vierertische und 3 Sechsertische: 3 · 4 + 3 · 6 = 30
Ergebnis:
3 Vierertische, 3 Sechsertische
★15
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 15 Tiere mit 52 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 8 Hühner und 7 Kaninchen ergeben 44 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 4 Hühner und 11 Kaninchen: 4 · 2 + 11 · 4 = 52
Ergebnis:
11 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

0,67 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
2. Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €
Ergebnis:
0,80 €
●17
Eine Saftflasche kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 5,70 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 0,90 € = 5,40 €
2. Packung: 5,70 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
★18
Ein Tennisball kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 10,60 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
2. Packung: 10,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 3 Kästen liegen je 5 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?

Schritt für Schritt

3 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
3 · 5 = 15

3 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
3 · 5 = 15

Ergebnis:

15 Bücher

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 7 Kästen liegen je 7 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
So fängst du an:
7 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 7 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
2. 7 · 7 = 49
Ergebnis:
49 Bücher
●20
In 5 Kästen liegen je 5 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
2. 5 · 5 = 25
Ergebnis:
25 Bücher
★21
171 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Kästen verteilt. Wie viele Murmeln kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 171, 9 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 171 : 9 = 19
Ergebnis:
19 Murmeln

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Jonas hat 64 Sticker, Tim hat 62 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
64 + 62 = 126

Zwei Teile, gesucht das Ganze
64 + 62 = 126

Ergebnis:

126 Sticker

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Jonas hat 63 Murmeln, Ela hat 21 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 63 + 21 = 84
Ergebnis:
84 Murmeln
●23
Jonas hat 72 Karten, Lina hat 47 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 72 + 47 = 119
Ergebnis:
119 Karten
★24
Aylin und Tim haben zusammen 702 Sticker. Aylin hat 294 Sticker. Wie viele Sticker hat Tim?
Lösung zeigen
1. Ganzes 702, ein Teil 294, gesucht der andere Teil
2. 702 − 294 = 408
Ergebnis:
408 Sticker

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 30 Tore geschossen. Zum Finale kamen 252 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●26
Ein Regal hat 4 Böden. Auf jedem stehen 21 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: 4 Böden, 21 Bücher je Boden.
2. Über die Seiten steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Der Unterricht beginnt um 7:48 Uhr. Welchen Bus 100 muss Zeynep spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:48 Uhr: 7:12, 7:27, 7:42 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:42 Uhr an.
3. Er fährt um 7:18 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:18 Uhr
●28
Entlang eines Weges stehen 6 Zaunpfähle im Abstand von 10 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 6 Zaunpfähle haben 5 Abstände dazwischen.
2. 5 · 10 m = 50 m
Ergebnis:
50 m
●29
Im Kino sitzt Milan auf Platz 3 von links. Zwischen Milan und Paul sitzen 4 Kinder, Paul sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Paul?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 3 ist Milan, dann 4 Plätze dazwischen.
2. 3 + 4 + 1 = 8
Ergebnis:
Platz 8
●30
Tom kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Tom 9 € geschenkt und hat jetzt 11 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 11 € − 9 € = 2 €
2. Dann den Kauf: 2 € + 8 € = 10 €
Ergebnis:
10 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 37 Tore geschossen. Zum Finale kamen 350 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
Ergebnis:
13 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Mia hat 50 Sticker. Aylin hat 23 Sticker weniger als Mia. Wie viele Sticker hat Aylin?
Lösung zeigen
Ergebnis:
27 Sticker
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Hanna kauft ein Buch für 13 €. Danach bekommt Hanna 12 € geschenkt und hat jetzt 16 €. Wie viel Geld hatte Hanna am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
17 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita zählt Noah 10 Fahrzeuge und 24 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 Fahrräder, 4 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,67 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 4 Kästen liegen je 5 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
20 Sticker
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Aylin hat 83 Bücher, Tim hat 81 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
164 Bücher

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Die Tore im Finale fehlen
180 €, die Filmdauer brauche ich nicht
504 km
den um 7:23 Uhr
den um 7:48 Uhr
den um 7:18 Uhr
64 Bücher
60 Sticker
162 Bücher
15:39 Uhr
16:18 Uhr
15:04 Uhr
1 Vierertisch, 4 Sechsertische
3 Vierertische, 3 Sechsertische
11 Kaninchen
0,80 €
einzeln
einzeln
49 Bücher
25 Bücher
19 Murmeln
84 Murmeln
119 Karten
408 Sticker
Die Tore im Finale fehlen
nicht lösbar
den um 7:18 Uhr
50 m
Platz 8
10 €
Die Tore im Finale fehlen
13 Minuten
27 Sticker
17 €
6 Fahrräder, 4 Dreiräder
1,67 €
20 Sticker
164 Bücher
11:15 Uhr
12.000 g

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 10:15 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 10:15 + 1:00 = 11:15 Uhr
Ergebnis:
11:15 Uhr
●40
Rechne um: 12 kg in g.
Lösung zeigen
1. 1 kg = 1.000 g
2. 12 · 1.000 = 12.000 g
Ergebnis:
12.000 g

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 95 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 95 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Ergebnis:

Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 15 Tore geschossen. Zum Finale kamen 366 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●2
Die 5b fährt mit 30 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 30 Kinder und 6 € je Karte.
2. 30 · 6 € = 180 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
180 €, die Filmdauer brauche ich nicht
★3
28 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viele Kilometer fahren alle Kinder zusammen hin und zurück?
Lösung zeigen
1. Ein Kind fährt hin und zurück: 2 · 9 km = 18 km.
2. 28 Kinder: 28 · 18 km = 504 km
3. Nicht gebraucht: Eintritt und Lehrkräfte.
Ergebnis:
504 km

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Lea ist um 6:52 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lea auf den nächsten Bus X34?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
Von 6:52 bis 7:01 Uhr sind es 9 Minuten.

Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
Von 6:52 bis 7:01 Uhr sind es 9 Minuten.

Ergebnis:

9 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:46 Uhr. Welchen Bus 248 muss Zeynep spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:46 Uhr: 6:57, 7:17, 7:37 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:46 Uhr: 6:57, 7:17, 7:37 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:37 Uhr an.
3. Er fährt um 7:23 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:23 Uhr
●5
Der Unterricht beginnt um 8:20 Uhr. Welchen Bus 248 muss Lea spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:20 Uhr: 7:01, 7:21, 7:41, 8:01 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 8:01 Uhr an.
3. Er fährt um 7:48 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:48 Uhr
★6
Der Unterricht beginnt um 7:53 Uhr. Welchen Bus 248 muss Hanna spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:53 Uhr: 7:14, 7:24, 7:34, 7:44 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:44 Uhr an.
3. Er fährt um 7:18 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:18 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Tim hat 83 Bücher. Aylin hat 27 Bücher weniger als Tim. Wie viele Bücher hat Aylin?

Schritt für Schritt

Aylin hat weniger: der Streifen von Aylin ist kürzer
83 − 27 = 56

Aylin hat weniger: der Streifen von Aylin ist kürzer
83 − 27 = 56

Ergebnis:

56 Bücher

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Noah hat 46 Bücher. Lina hat 18 Bücher mehr als Noah. Wie viele Bücher hat Lina?
So fängst du an:
Lina hat mehr: der Streifen von Lina ist länger
Lösung zeigen
1. Lina hat mehr: der Streifen von Lina ist länger
2. 46 + 18 = 64
Ergebnis:
64 Bücher
●8
Ben hat 46 Sticker. Jonas hat 14 Sticker mehr als Ben. Wie viele Sticker hat Jonas?
Lösung zeigen
1. Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
2. 46 + 14 = 60
Ergebnis:
60 Sticker
★9
Noah hat 273 Bücher, Ben hat 435 Bücher. Wie viele Bücher hat Ben mehr?
Lösung zeigen
1. Der Unterschied ist der Rest zwischen den Streifen
2. 435 − 273 = 162
Ergebnis:
162 Bücher

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Hanna braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 26 Minuten für den Weg. Wann muss Hanna spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 15:25 Uhr.
Noch 26 Minuten früher: 14:59 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 15:25 Uhr.
Noch 26 Minuten früher: 14:59 Uhr.

Ergebnis:

14:59 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Ben braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 30 Minuten für den Weg. Wann muss Ben spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 16:09 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 16:09 Uhr.
2. Noch 30 Minuten früher: 15:39 Uhr.
Ergebnis:
15:39 Uhr
●11
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Zeynep braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 33 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 16:51 Uhr.
2. Noch 33 Minuten früher: 16:18 Uhr.
Ergebnis:
16:18 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Emma braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 18 Minuten für den Weg. Wann muss Emma spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 15:22 Uhr.
2. Noch 18 Minuten früher: 15:04 Uhr.
Ergebnis:
15:04 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita zählt Mia 8 Fahrzeuge und 21 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3 Fahrräder und 5 Dreiräder: 3 · 2 + 5 · 3 = 21

Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3 Fahrräder und 5 Dreiräder: 3 · 2 + 5 · 3 = 21

Ergebnis:

3 Fahrräder, 5 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa zählt Lea 5 Tische und 28 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Vierertisch und 4 Sechsertische: 1 · 4 + 4 · 6 = 28
Ergebnis:
1 Vierertisch, 4 Sechsertische
●14
In der Mensa zählt Mia 6 Tische und 30 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
2. Das passt genau.
3. 3 Vierertische und 3 Sechsertische: 3 · 4 + 3 · 6 = 30
Ergebnis:
3 Vierertische, 3 Sechsertische
★15
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 15 Tiere mit 52 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 8 Hühner und 7 Kaninchen ergeben 44 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 4 Hühner und 11 Kaninchen: 4 · 2 + 11 · 4 = 52
Ergebnis:
11 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

0,67 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
2. Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €
Ergebnis:
0,80 €
●17
Eine Saftflasche kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 5,70 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 0,90 € = 5,40 €
2. Packung: 5,70 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
★18
Ein Tennisball kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 10,60 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
2. Packung: 10,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 3 Kästen liegen je 5 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?

Schritt für Schritt

3 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
3 · 5 = 15

3 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
3 · 5 = 15

Ergebnis:

15 Bücher

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 7 Kästen liegen je 7 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
So fängst du an:
7 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 7 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
2. 7 · 7 = 49
Ergebnis:
49 Bücher
●20
In 5 Kästen liegen je 5 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
2. 5 · 5 = 25
Ergebnis:
25 Bücher
★21
171 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Kästen verteilt. Wie viele Murmeln kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 171, 9 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 171 : 9 = 19
Ergebnis:
19 Murmeln

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Jonas hat 64 Sticker, Tim hat 62 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
64 + 62 = 126

Zwei Teile, gesucht das Ganze
64 + 62 = 126

Ergebnis:

126 Sticker

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Jonas hat 63 Murmeln, Ela hat 21 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 63 + 21 = 84
Ergebnis:
84 Murmeln
●23
Jonas hat 72 Karten, Lina hat 47 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 72 + 47 = 119
Ergebnis:
119 Karten
★24
Aylin und Tim haben zusammen 702 Sticker. Aylin hat 294 Sticker. Wie viele Sticker hat Tim?
Lösung zeigen
1. Ganzes 702, ein Teil 294, gesucht der andere Teil
2. 702 − 294 = 408
Ergebnis:
408 Sticker

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 30 Tore geschossen. Zum Finale kamen 252 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●26
Ein Regal hat 4 Böden. Auf jedem stehen 21 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: 4 Böden, 21 Bücher je Boden.
2. Über die Seiten steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Der Unterricht beginnt um 7:48 Uhr. Welchen Bus 100 muss Zeynep spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:48 Uhr: 7:12, 7:27, 7:42 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:42 Uhr an.
3. Er fährt um 7:18 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:18 Uhr
●28
Entlang eines Weges stehen 6 Zaunpfähle im Abstand von 10 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 6 Zaunpfähle haben 5 Abstände dazwischen.
2. 5 · 10 m = 50 m
Ergebnis:
50 m
●29
Im Kino sitzt Milan auf Platz 3 von links. Zwischen Milan und Paul sitzen 4 Kinder, Paul sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Paul?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 3 ist Milan, dann 4 Plätze dazwischen.
2. 3 + 4 + 1 = 8
Ergebnis:
Platz 8
●30
Tom kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Tom 9 € geschenkt und hat jetzt 11 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 11 € − 9 € = 2 €
2. Dann den Kauf: 2 € + 8 € = 10 €
Ergebnis:
10 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 37 Tore geschossen. Zum Finale kamen 350 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
Ergebnis:
13 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Mia hat 50 Sticker. Aylin hat 23 Sticker weniger als Mia. Wie viele Sticker hat Aylin?
Lösung zeigen
Ergebnis:
27 Sticker
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Hanna kauft ein Buch für 13 €. Danach bekommt Hanna 12 € geschenkt und hat jetzt 16 €. Wie viel Geld hatte Hanna am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
17 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita zählt Noah 10 Fahrzeuge und 24 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 Fahrräder, 4 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,67 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 4 Kästen liegen je 5 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
20 Sticker
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Aylin hat 83 Bücher, Tim hat 81 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
164 Bücher

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Die Tore im Finale fehlen
180 €, die Filmdauer brauche ich nicht
504 km
den um 7:23 Uhr
den um 7:48 Uhr
den um 7:18 Uhr
64 Bücher
60 Sticker
162 Bücher
15:39 Uhr
16:18 Uhr
15:04 Uhr
1 Vierertisch, 4 Sechsertische
3 Vierertische, 3 Sechsertische
11 Kaninchen
0,80 €
einzeln
einzeln
49 Bücher
25 Bücher
19 Murmeln
84 Murmeln
119 Karten
408 Sticker
Die Tore im Finale fehlen
nicht lösbar
den um 7:18 Uhr
50 m
Platz 8
10 €
Die Tore im Finale fehlen
13 Minuten
27 Sticker
17 €
6 Fahrräder, 4 Dreiräder
1,67 €
20 Sticker
164 Bücher
11:15 Uhr
12.000 g