Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 10:30 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 10:30 + 1:00 = 11:30 Uhr
Ergebnis:
11:30 Uhr
●40
Rechne um: 9 kg in g.
Lösung zeigen
1. 1 kg = 1.000 g
2. 9 · 1.000 = 9.000 g
Ergebnis:
9.000 g

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

29 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 3.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 3.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Ergebnis:

Der Preis für Erwachsene fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
26 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 7 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 3.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●2
30 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 30 Kinder und 7 €.
2. 30 · 7 € = 210 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
210 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
★3
24 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viele Kilometer fahren alle Kinder zusammen hin und zurück?
Lösung zeigen
1. Ein Kind fährt hin und zurück: 2 · 9 km = 18 km.
2. 24 Kinder: 24 · 18 km = 432 km
3. Nicht gebraucht: Eintritt und Lehrkräfte.
Ergebnis:
432 km

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:32 Uhr. Welchen Bus 248 muss Lea spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:32 Uhr: 6:58, 7:18 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:18 Uhr an.
Er fährt um 7:06 Uhr ab.

Ankunft vor 7:32 Uhr: 6:58, 7:18 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:18 Uhr an.
Er fährt um 7:06 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 7:06 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:43 Uhr. Welchen Bus M29 muss Tom spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:43 Uhr: 7:04, 7:14, 7:24, 7:34 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:43 Uhr: 7:04, 7:14, 7:24, 7:34 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:34 Uhr an.
3. Er fährt um 7:15 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:15 Uhr
●5
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:41 Uhr, an 7:09 Uhr.
2. Von 6:41 bis 7:09 Uhr sind es 28 Minuten.
Ergebnis:
28 Minuten
★6
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:40 Uhr, an 7:05 Uhr.
2. Von 6:40 bis 7:05 Uhr sind es 25 Minuten.
Ergebnis:
25 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Mia hat 46 Murmeln. Noah hat 29 Murmeln weniger als Mia. Wie viele Murmeln hat Noah?

Schritt für Schritt

Noah hat weniger: der Streifen von Noah ist kürzer
46 − 29 = 17

Noah hat weniger: der Streifen von Noah ist kürzer
46 − 29 = 17

Ergebnis:

17 Murmeln

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Mia hat 80 Murmeln. Tim hat 14 Murmeln mehr als Mia. Wie viele Murmeln hat Tim?
So fängst du an:
Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
Lösung zeigen
1. Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
2. 80 + 14 = 94
Ergebnis:
94 Murmeln
●8
Aylin hat 68 Bücher. Ela hat 26 Bücher mehr als Aylin. Wie viele Bücher hat Ela?
Lösung zeigen
1. Ela hat mehr: der Streifen von Ela ist länger
2. 68 + 26 = 94
Ergebnis:
94 Bücher
★9
Lina hat 595 Karten. Jonas hat 181 Karten weniger als Lina. Wie viele Karten hat Jonas?
Lösung zeigen
1. Jonas hat weniger: der Streifen von Jonas ist kürzer
2. 595 − 181 = 414
Ergebnis:
414 Karten

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Zeynep braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 23 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 15:47 Uhr.
Noch 23 Minuten früher: 15:24 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 15:47 Uhr.
Noch 23 Minuten früher: 15:24 Uhr.

Ergebnis:

15:24 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Tom kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Tom 3 € geschenkt und hat jetzt 13 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 13 € − 3 € = 10 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 13 € − 3 € = 10 €
2. Dann den Kauf: 10 € + 17 € = 27 €
Ergebnis:
27 €
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Milan braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Milan spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 15:55 Uhr.
2. Noch 20 Minuten früher: 15:35 Uhr.
Ergebnis:
15:35 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Noah braucht 12 Minuten zum Umziehen und davor 23 Minuten für den Weg. Wann muss Noah spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 12 Minuten früher ist 16:03 Uhr.
2. Noch 23 Minuten früher: 15:40 Uhr.
Ergebnis:
15:40 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa zählt Sofia 8 Tische und 34 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
7 Vierertische und 1 Sechsertisch: 7 · 4 + 1 · 6 = 34

Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
7 Vierertische und 1 Sechsertisch: 7 · 4 + 1 · 6 = 34

Ergebnis:

7 Vierertische, 1 Sechsertisch

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof zählt Tom 5 Tiere und 16 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 2 Hühner und 3 Kaninchen: 2 · 2 + 3 · 4 = 16
Ergebnis:
2 Hühner, 3 Kaninchen
●14
Auf einem Hof zählt Lea 10 Tiere und 24 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 8 Hühner und 2 Kaninchen: 8 · 2 + 2 · 4 = 24
Ergebnis:
8 Hühner, 2 Kaninchen
★15
Auf einem Hof zählt Tom 18 Tiere und 58 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 9 Hühner und 9 Kaninchen ergeben 54 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 7 Hühner und 11 Kaninchen: 7 · 2 + 11 · 4 = 58
Ergebnis:
7 Hühner, 11 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Eine Saftflasche kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 4,20 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
Packung: 4,20 €
Einzeln ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
Packung: 4,20 €
Einzeln ist günstiger.

Ergebnis:

einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Eine Saftflasche kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 25,30 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?
So fängst du an:
10 einzeln: 10 · 2,50 € = 25,00 €
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 2,50 € = 25,00 €
2. Packung: 25,30 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
2. Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €
Ergebnis:
0,80 €
★18
Eine Fahrt kostet 3,00 €. Eine Monatskarte kostet 40,00 €. Milan fährt im Monat 19-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 19 · 3,00 € = 57,00 €
2. Monatskarte: 40,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 3 Kästen liegen je 5 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?

Schritt für Schritt

3 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
3 · 5 = 15

3 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
3 · 5 = 15

Ergebnis:

15 Murmeln

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 7 Kästen liegen je 8 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
So fängst du an:
7 gleiche Teile zu je 8, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 7 gleiche Teile zu je 8, gesucht das Ganze
2. 7 · 8 = 56
Ergebnis:
56 Bücher
●20
In 5 Kästen liegen je 3 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
2. 5 · 3 = 15
Ergebnis:
15 Murmeln
★21
217 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Kästen verteilt. Wie viele Bücher kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 217, 7 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 217 : 7 = 31
Ergebnis:
31 Bücher

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Tim hat 73 Karten, Ela hat 38 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
73 + 38 = 111

Zwei Teile, gesucht das Ganze
73 + 38 = 111

Ergebnis:

111 Karten

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Ela hat 70 Murmeln, Tim hat 31 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 70 + 31 = 101
Ergebnis:
101 Murmeln
●23
Tim hat 36 Sticker, Aylin hat 21 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 36 + 21 = 57
Ergebnis:
57 Sticker
★24
Jonas und Aylin haben zusammen 759 Bücher. Jonas hat 475 Bücher. Wie viele Bücher hat Aylin?
Lösung zeigen
1. Ganzes 759, ein Teil 475, gesucht der andere Teil
2. 759 − 475 = 284
Ergebnis:
284 Bücher

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
26 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 7 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 3.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●26
Ein Regal hat 3 Böden. Auf jedem stehen 11 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: 3 Böden, 11 Bücher je Boden.
2. Über die Seiten steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Der Unterricht beginnt um 7:33 Uhr. Welchen Bus 248 muss Milan spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:33 Uhr: 7:09, 7:19, 7:29 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:29 Uhr an.
3. Er fährt um 7:11 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:11 Uhr
●28
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Hanna sagt: „25 m Zaun mit einem Pfahl alle 5 m braucht 5 Pfähle.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 25 : 5 = 5 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 6.
Ergebnis:
Nein, 6 Pfähle
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Milan an 14. Stelle von vorn und an 6. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 13 Kinder, dann Milan, dahinter 5 Kinder.
2. 13 + 1 + 5 = 19
Ergebnis:
19 Kinder
●30
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Paul braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 16 Minuten für den Weg. Wann muss Paul spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 16:46 Uhr.
2. Noch 16 Minuten früher: 16:30 Uhr.
Ergebnis:
16:30 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
24 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 7 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:55 Uhr. Welchen Bus 100 muss Aylin spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:39 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Lina hat 67 Bücher. Noah hat 10 Bücher weniger als Lina. Wie viele Bücher hat Noah?
Lösung zeigen
Ergebnis:
57 Bücher
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Jonas braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 21 Minuten für den Weg. Wann muss Jonas spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15:32 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
In der Mensa zählt Elias 10 Tische und 52 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
4 Vierertische, 6 Sechsertische
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Tennisball kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 6,30 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 3 Kästen liegen je 4 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
12 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Ela hat 51 Bücher, Lina hat 37 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
88 Bücher

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Der Preis für Erwachsene fehlt
210 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
432 km
den um 7:15 Uhr
28 Minuten
25 Minuten
94 Murmeln
94 Bücher
414 Karten
27 €
15:35 Uhr
15:40 Uhr
2 Hühner, 3 Kaninchen
8 Hühner, 2 Kaninchen
7 Hühner, 11 Kaninchen
einzeln
0,80 €
Ja
56 Bücher
15 Murmeln
31 Bücher
101 Murmeln
57 Sticker
284 Bücher
Der Preis für Erwachsene fehlt
nicht lösbar
den um 7:11 Uhr
Nein, 6 Pfähle
19 Kinder
16:30 Uhr
Der Preis für Erwachsene fehlt
den um 7:39 Uhr
57 Bücher
15:32 Uhr
4 Vierertische, 6 Sechsertische
einzeln
12 Bücher
88 Bücher
11:30 Uhr
9.000 g

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 10:30 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 10:30 + 1:00 = 11:30 Uhr
Ergebnis:
11:30 Uhr
●40
Rechne um: 9 kg in g.
Lösung zeigen
1. 1 kg = 1.000 g
2. 9 · 1.000 = 9.000 g
Ergebnis:
9.000 g

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

29 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 3.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 3.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Ergebnis:

Der Preis für Erwachsene fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
26 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 7 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 3.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●2
30 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 30 Kinder und 7 €.
2. 30 · 7 € = 210 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
210 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
★3
24 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viele Kilometer fahren alle Kinder zusammen hin und zurück?
Lösung zeigen
1. Ein Kind fährt hin und zurück: 2 · 9 km = 18 km.
2. 24 Kinder: 24 · 18 km = 432 km
3. Nicht gebraucht: Eintritt und Lehrkräfte.
Ergebnis:
432 km

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:32 Uhr. Welchen Bus 248 muss Lea spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:32 Uhr: 6:58, 7:18 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:18 Uhr an.
Er fährt um 7:06 Uhr ab.

Ankunft vor 7:32 Uhr: 6:58, 7:18 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:18 Uhr an.
Er fährt um 7:06 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 7:06 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:43 Uhr. Welchen Bus M29 muss Tom spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:43 Uhr: 7:04, 7:14, 7:24, 7:34 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:43 Uhr: 7:04, 7:14, 7:24, 7:34 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:34 Uhr an.
3. Er fährt um 7:15 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:15 Uhr
●5
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:41 Uhr, an 7:09 Uhr.
2. Von 6:41 bis 7:09 Uhr sind es 28 Minuten.
Ergebnis:
28 Minuten
★6
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:40 Uhr, an 7:05 Uhr.
2. Von 6:40 bis 7:05 Uhr sind es 25 Minuten.
Ergebnis:
25 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Mia hat 46 Murmeln. Noah hat 29 Murmeln weniger als Mia. Wie viele Murmeln hat Noah?

Schritt für Schritt

Noah hat weniger: der Streifen von Noah ist kürzer
46 − 29 = 17

Noah hat weniger: der Streifen von Noah ist kürzer
46 − 29 = 17

Ergebnis:

17 Murmeln

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Mia hat 80 Murmeln. Tim hat 14 Murmeln mehr als Mia. Wie viele Murmeln hat Tim?
So fängst du an:
Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
Lösung zeigen
1. Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
2. 80 + 14 = 94
Ergebnis:
94 Murmeln
●8
Aylin hat 68 Bücher. Ela hat 26 Bücher mehr als Aylin. Wie viele Bücher hat Ela?
Lösung zeigen
1. Ela hat mehr: der Streifen von Ela ist länger
2. 68 + 26 = 94
Ergebnis:
94 Bücher
★9
Lina hat 595 Karten. Jonas hat 181 Karten weniger als Lina. Wie viele Karten hat Jonas?
Lösung zeigen
1. Jonas hat weniger: der Streifen von Jonas ist kürzer
2. 595 − 181 = 414
Ergebnis:
414 Karten

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Zeynep braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 23 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 15:47 Uhr.
Noch 23 Minuten früher: 15:24 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 15:47 Uhr.
Noch 23 Minuten früher: 15:24 Uhr.

Ergebnis:

15:24 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Tom kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Tom 3 € geschenkt und hat jetzt 13 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 13 € − 3 € = 10 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 13 € − 3 € = 10 €
2. Dann den Kauf: 10 € + 17 € = 27 €
Ergebnis:
27 €
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Milan braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Milan spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 15:55 Uhr.
2. Noch 20 Minuten früher: 15:35 Uhr.
Ergebnis:
15:35 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Noah braucht 12 Minuten zum Umziehen und davor 23 Minuten für den Weg. Wann muss Noah spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 12 Minuten früher ist 16:03 Uhr.
2. Noch 23 Minuten früher: 15:40 Uhr.
Ergebnis:
15:40 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa zählt Sofia 8 Tische und 34 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
7 Vierertische und 1 Sechsertisch: 7 · 4 + 1 · 6 = 34

Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
7 Vierertische und 1 Sechsertisch: 7 · 4 + 1 · 6 = 34

Ergebnis:

7 Vierertische, 1 Sechsertisch

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof zählt Tom 5 Tiere und 16 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 2 Hühner und 3 Kaninchen: 2 · 2 + 3 · 4 = 16
Ergebnis:
2 Hühner, 3 Kaninchen
●14
Auf einem Hof zählt Lea 10 Tiere und 24 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 8 Hühner und 2 Kaninchen: 8 · 2 + 2 · 4 = 24
Ergebnis:
8 Hühner, 2 Kaninchen
★15
Auf einem Hof zählt Tom 18 Tiere und 58 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 9 Hühner und 9 Kaninchen ergeben 54 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 7 Hühner und 11 Kaninchen: 7 · 2 + 11 · 4 = 58
Ergebnis:
7 Hühner, 11 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Eine Saftflasche kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 4,20 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
Packung: 4,20 €
Einzeln ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
Packung: 4,20 €
Einzeln ist günstiger.

Ergebnis:

einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Eine Saftflasche kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 25,30 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?
So fängst du an:
10 einzeln: 10 · 2,50 € = 25,00 €
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 2,50 € = 25,00 €
2. Packung: 25,30 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
2. Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €
Ergebnis:
0,80 €
★18
Eine Fahrt kostet 3,00 €. Eine Monatskarte kostet 40,00 €. Milan fährt im Monat 19-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 19 · 3,00 € = 57,00 €
2. Monatskarte: 40,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 3 Kästen liegen je 5 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?

Schritt für Schritt

3 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
3 · 5 = 15

3 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
3 · 5 = 15

Ergebnis:

15 Murmeln

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 7 Kästen liegen je 8 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
So fängst du an:
7 gleiche Teile zu je 8, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 7 gleiche Teile zu je 8, gesucht das Ganze
2. 7 · 8 = 56
Ergebnis:
56 Bücher
●20
In 5 Kästen liegen je 3 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
2. 5 · 3 = 15
Ergebnis:
15 Murmeln
★21
217 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Kästen verteilt. Wie viele Bücher kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 217, 7 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 217 : 7 = 31
Ergebnis:
31 Bücher

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Tim hat 73 Karten, Ela hat 38 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
73 + 38 = 111

Zwei Teile, gesucht das Ganze
73 + 38 = 111

Ergebnis:

111 Karten

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Ela hat 70 Murmeln, Tim hat 31 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 70 + 31 = 101
Ergebnis:
101 Murmeln
●23
Tim hat 36 Sticker, Aylin hat 21 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 36 + 21 = 57
Ergebnis:
57 Sticker
★24
Jonas und Aylin haben zusammen 759 Bücher. Jonas hat 475 Bücher. Wie viele Bücher hat Aylin?
Lösung zeigen
1. Ganzes 759, ein Teil 475, gesucht der andere Teil
2. 759 − 475 = 284
Ergebnis:
284 Bücher

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
26 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 7 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 3.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●26
Ein Regal hat 3 Böden. Auf jedem stehen 11 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: 3 Böden, 11 Bücher je Boden.
2. Über die Seiten steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Der Unterricht beginnt um 7:33 Uhr. Welchen Bus 248 muss Milan spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:33 Uhr: 7:09, 7:19, 7:29 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:29 Uhr an.
3. Er fährt um 7:11 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:11 Uhr
●28
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Hanna sagt: „25 m Zaun mit einem Pfahl alle 5 m braucht 5 Pfähle.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 25 : 5 = 5 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 6.
Ergebnis:
Nein, 6 Pfähle
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Milan an 14. Stelle von vorn und an 6. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 13 Kinder, dann Milan, dahinter 5 Kinder.
2. 13 + 1 + 5 = 19
Ergebnis:
19 Kinder
●30
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Paul braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 16 Minuten für den Weg. Wann muss Paul spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 16:46 Uhr.
2. Noch 16 Minuten früher: 16:30 Uhr.
Ergebnis:
16:30 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
24 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 7 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:55 Uhr. Welchen Bus 100 muss Aylin spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:39 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Lina hat 67 Bücher. Noah hat 10 Bücher weniger als Lina. Wie viele Bücher hat Noah?
Lösung zeigen
Ergebnis:
57 Bücher
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Jonas braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 21 Minuten für den Weg. Wann muss Jonas spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15:32 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
In der Mensa zählt Elias 10 Tische und 52 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
4 Vierertische, 6 Sechsertische
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Tennisball kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 6,30 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 3 Kästen liegen je 4 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
12 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Ela hat 51 Bücher, Lina hat 37 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
88 Bücher

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Der Preis für Erwachsene fehlt
210 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
432 km
den um 7:15 Uhr
28 Minuten
25 Minuten
94 Murmeln
94 Bücher
414 Karten
27 €
15:35 Uhr
15:40 Uhr
2 Hühner, 3 Kaninchen
8 Hühner, 2 Kaninchen
7 Hühner, 11 Kaninchen
einzeln
0,80 €
Ja
56 Bücher
15 Murmeln
31 Bücher
101 Murmeln
57 Sticker
284 Bücher
Der Preis für Erwachsene fehlt
nicht lösbar
den um 7:11 Uhr
Nein, 6 Pfähle
19 Kinder
16:30 Uhr
Der Preis für Erwachsene fehlt
den um 7:39 Uhr
57 Bücher
15:32 Uhr
4 Vierertische, 6 Sechsertische
einzeln
12 Bücher
88 Bücher
11:30 Uhr
9.000 g