Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 9:30 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 9:30 + 1:00 = 10:30 Uhr
Ergebnis:
10:30 Uhr
●40
Rechne um: 12 m in dm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 10 dm
2. 12 · 10 = 120 dm
Ergebnis:
120 dm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 23 Kinder und 8 € je Karte.
23 · 8 € = 184 €
Nicht gebraucht: die Filmdauer.

Gebraucht: 23 Kinder und 8 € je Karte.
23 · 8 € = 184 €
Nicht gebraucht: die Filmdauer.

Ergebnis:

184 €, die Filmdauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
30 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 18 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 33 Tore geschossen. Zum Finale kamen 226 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 27 Tore geschossen. Zum Finale kamen 324 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 7 Spiele.
2. 15 − 7 = 8
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
8 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:23 Uhr. Welchen Bus X34 muss Milan spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:23 Uhr: 6:58, 7:08, 7:18 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:18 Uhr an.
Er fährt um 7:01 Uhr ab.

Ankunft vor 7:23 Uhr: 6:58, 7:08, 7:18 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:18 Uhr an.
Er fährt um 7:01 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 7:01 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Emma ist um 6:55 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Emma auf den nächsten Bus M29?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:03 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:03 Uhr.
2. Von 6:55 bis 7:03 Uhr sind es 8 Minuten.
Ergebnis:
8 Minuten
●5
Der Unterricht beginnt um 7:27 Uhr. Welchen Bus X34 muss Mia spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:27 Uhr: 7:03, 7:23 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:23 Uhr an.
3. Er fährt um 7:06 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:06 Uhr
★6
Der Unterricht beginnt um 8:02 Uhr. Welchen Bus 248 muss Milan spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:02 Uhr: 7:10, 7:25, 7:40, 7:55 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:55 Uhr an.
3. Er fährt um 7:34 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:34 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Tim hat 73 Sticker. Lina hat 7 Sticker mehr als Tim. Wie viele Sticker hat Lina?

Schritt für Schritt

Lina hat mehr: der Streifen von Lina ist länger
73 + 7 = 80

Lina hat mehr: der Streifen von Lina ist länger
73 + 7 = 80

Ergebnis:

80 Sticker

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Aylin hat 50 Karten. Ela hat 26 Karten weniger als Aylin. Wie viele Karten hat Ela?
So fängst du an:
Ela hat weniger: der Streifen von Ela ist kürzer
Lösung zeigen
1. Ela hat weniger: der Streifen von Ela ist kürzer
2. 50 − 26 = 24
Ergebnis:
24 Karten
●8
Lina hat 85 Bücher. Tim hat 30 Bücher mehr als Lina. Wie viele Bücher hat Tim?
Lösung zeigen
1. Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
2. 85 + 30 = 115
Ergebnis:
115 Bücher
★9
Tim hat 548 Sticker. Ela hat 139 Sticker mehr als Tim. Wie viele Sticker hat Ela?
Lösung zeigen
1. Ela hat mehr: der Streifen von Ela ist länger
2. 548 + 139 = 687
Ergebnis:
687 Sticker

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Lina kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Lina 3 € geschenkt und hat jetzt 25 €. Wie viel Geld hatte Lina am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 25 € − 3 € = 22 €
Dann den Kauf: 22 € + 10 € = 32 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 25 € − 3 € = 22 €
Dann den Kauf: 22 € + 10 € = 32 €

Ergebnis:

32 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Sofia braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 31 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 16:00 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 16:00 Uhr.
2. Noch 31 Minuten früher: 15:29 Uhr.
Ergebnis:
15:29 Uhr
●11
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Zeynep braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 35 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 15:22 Uhr.
2. Noch 35 Minuten früher: 14:47 Uhr.
Ergebnis:
14:47 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Zeynep braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 25 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 15:15 Uhr.
2. Noch 25 Minuten früher: 14:50 Uhr.
Ergebnis:
14:50 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 7 Tiere mit 16 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
6 Hühner und 1 Kaninchen: 6 · 2 + 1 · 4 = 16

Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
6 Hühner und 1 Kaninchen: 6 · 2 + 1 · 4 = 16

Ergebnis:

1 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa zählt Lina 5 Tische und 24 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
2. Das passt genau.
3. 3 Vierertische und 2 Sechsertische: 3 · 4 + 2 · 6 = 24
Ergebnis:
3 Vierertische, 2 Sechsertische
●14
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 9 Tische mit 40 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 7 Vierertische und 2 Sechsertische: 7 · 4 + 2 · 6 = 40
Ergebnis:
2 Sechsertische
★15
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 14 Fahrzeuge mit 40 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 7 Fahrräder und 7 Dreiräder ergeben 35 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 2 Fahrräder und 12 Dreiräder: 2 · 2 + 12 · 3 = 40
Ergebnis:
12 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €

Ergebnis:

0,80 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
0,67 €
●17
Ein Tennisball kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 5,40 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
2. Packung: 5,40 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Eine Fahrt kostet 2,40 €. Eine Monatskarte kostet 45,00 €. Hanna fährt im Monat 16-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 16 · 2,40 € = 38,40 €
2. Monatskarte: 45,00 €
3. Einzeln ist günstiger: Die Karte lohnt sich nicht.
Ergebnis:
Nein

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 5 Kästen liegen je 9 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?

Schritt für Schritt

5 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
5 · 9 = 45

5 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
5 · 9 = 45

Ergebnis:

45 Karten

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 6 Kästen liegen je 6 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
So fängst du an:
6 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 6 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
2. 6 · 6 = 36
Ergebnis:
36 Sticker
●20
In 4 Kästen liegen je 3 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 4 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
2. 4 · 3 = 12
Ergebnis:
12 Karten
★21
160 Sticker werden gleichmäßig auf 10 Kästen verteilt. Wie viele Sticker kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 160, 10 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 160 : 10 = 16
Ergebnis:
16 Sticker

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Ela hat 72 Bücher, Lina hat 75 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
72 + 75 = 147

Zwei Teile, gesucht das Ganze
72 + 75 = 147

Ergebnis:

147 Bücher

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Ela hat 68 Karten, Lina hat 51 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 68 + 51 = 119
Ergebnis:
119 Karten
●23
Ben hat 55 Bücher, Aylin hat 45 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 55 + 45 = 100
Ergebnis:
100 Bücher
★24
Noah und Lina haben zusammen 771 Bücher. Noah hat 309 Bücher. Wie viele Bücher hat Lina?
Lösung zeigen
1. Ganzes 771, ein Teil 309, gesucht der andere Teil
2. 771 − 309 = 462
Ergebnis:
462 Bücher

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
28 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 3.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●26
In der Klasse sind 23 Kinder. Sie spielen in 4 Teams. Wie viele Tore fallen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. Über Tore steht nichts im Text.
2. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Tom ist um 6:43 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Tom auf den nächsten Bus X34?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:50 Uhr.
2. Von 6:43 bis 6:50 Uhr sind es 7 Minuten.
Ergebnis:
7 Minuten
●28
Entlang eines Weges stehen 11 Laternen im Abstand von 5 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 11 Laternen haben 10 Abstände dazwischen.
2. 10 · 5 m = 50 m
Ergebnis:
50 m
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Jonas an 11. Stelle von vorn und an 13. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 10 Kinder, dann Jonas, dahinter 12 Kinder.
2. 10 + 1 + 12 = 23
Ergebnis:
23 Kinder
●30
Paul kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Paul 6 € geschenkt und hat jetzt 31 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 31 € − 6 € = 25 €
2. Dann den Kauf: 25 € + 10 € = 35 €
Ergebnis:
35 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
28 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 17 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:37 Uhr. Welchen Bus X34 muss Milan spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:15 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Lina hat 63 Sticker. Noah hat 13 Sticker mehr als Lina. Wie viele Sticker hat Noah?
Lösung zeigen
Ergebnis:
76 Sticker
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Lea braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 33 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15:28 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof zählt Elias 8 Tiere und 20 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 Hühner, 2 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Bleistift kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 10 Bleistiften kostet 24,70 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Packung
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 6 Kästen liegen je 4 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
24 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Jonas hat 44 Bücher, Noah hat 71 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
115 Bücher

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Der Preis für Erwachsene fehlt
Die Tore im Finale fehlen
8 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
8 Minuten
den um 7:06 Uhr
den um 7:34 Uhr
24 Karten
115 Bücher
687 Sticker
15:29 Uhr
14:47 Uhr
14:50 Uhr
3 Vierertische, 2 Sechsertische
2 Sechsertische
12 Dreiräder
0,67 €
die Packung
Nein
36 Sticker
12 Karten
16 Sticker
119 Karten
100 Bücher
462 Bücher
Der Preis für Erwachsene fehlt
nicht lösbar
7 Minuten
50 m
23 Kinder
35 €
Der Preis für Erwachsene fehlt
den um 7:15 Uhr
76 Sticker
15:28 Uhr
6 Hühner, 2 Kaninchen
die Packung
24 Bücher
115 Bücher
10:30 Uhr
120 dm

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 9:30 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 9:30 + 1:00 = 10:30 Uhr
Ergebnis:
10:30 Uhr
●40
Rechne um: 12 m in dm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 10 dm
2. 12 · 10 = 120 dm
Ergebnis:
120 dm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 23 Kinder und 8 € je Karte.
23 · 8 € = 184 €
Nicht gebraucht: die Filmdauer.

Gebraucht: 23 Kinder und 8 € je Karte.
23 · 8 € = 184 €
Nicht gebraucht: die Filmdauer.

Ergebnis:

184 €, die Filmdauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
30 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 18 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 33 Tore geschossen. Zum Finale kamen 226 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 27 Tore geschossen. Zum Finale kamen 324 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 7 Spiele.
2. 15 − 7 = 8
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
8 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:23 Uhr. Welchen Bus X34 muss Milan spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:23 Uhr: 6:58, 7:08, 7:18 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:18 Uhr an.
Er fährt um 7:01 Uhr ab.

Ankunft vor 7:23 Uhr: 6:58, 7:08, 7:18 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:18 Uhr an.
Er fährt um 7:01 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 7:01 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Emma ist um 6:55 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Emma auf den nächsten Bus M29?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:03 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:03 Uhr.
2. Von 6:55 bis 7:03 Uhr sind es 8 Minuten.
Ergebnis:
8 Minuten
●5
Der Unterricht beginnt um 7:27 Uhr. Welchen Bus X34 muss Mia spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:27 Uhr: 7:03, 7:23 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:23 Uhr an.
3. Er fährt um 7:06 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:06 Uhr
★6
Der Unterricht beginnt um 8:02 Uhr. Welchen Bus 248 muss Milan spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:02 Uhr: 7:10, 7:25, 7:40, 7:55 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:55 Uhr an.
3. Er fährt um 7:34 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:34 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Tim hat 73 Sticker. Lina hat 7 Sticker mehr als Tim. Wie viele Sticker hat Lina?

Schritt für Schritt

Lina hat mehr: der Streifen von Lina ist länger
73 + 7 = 80

Lina hat mehr: der Streifen von Lina ist länger
73 + 7 = 80

Ergebnis:

80 Sticker

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Aylin hat 50 Karten. Ela hat 26 Karten weniger als Aylin. Wie viele Karten hat Ela?
So fängst du an:
Ela hat weniger: der Streifen von Ela ist kürzer
Lösung zeigen
1. Ela hat weniger: der Streifen von Ela ist kürzer
2. 50 − 26 = 24
Ergebnis:
24 Karten
●8
Lina hat 85 Bücher. Tim hat 30 Bücher mehr als Lina. Wie viele Bücher hat Tim?
Lösung zeigen
1. Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
2. 85 + 30 = 115
Ergebnis:
115 Bücher
★9
Tim hat 548 Sticker. Ela hat 139 Sticker mehr als Tim. Wie viele Sticker hat Ela?
Lösung zeigen
1. Ela hat mehr: der Streifen von Ela ist länger
2. 548 + 139 = 687
Ergebnis:
687 Sticker

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Lina kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Lina 3 € geschenkt und hat jetzt 25 €. Wie viel Geld hatte Lina am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 25 € − 3 € = 22 €
Dann den Kauf: 22 € + 10 € = 32 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 25 € − 3 € = 22 €
Dann den Kauf: 22 € + 10 € = 32 €

Ergebnis:

32 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Sofia braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 31 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 16:00 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 16:00 Uhr.
2. Noch 31 Minuten früher: 15:29 Uhr.
Ergebnis:
15:29 Uhr
●11
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Zeynep braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 35 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 15:22 Uhr.
2. Noch 35 Minuten früher: 14:47 Uhr.
Ergebnis:
14:47 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Zeynep braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 25 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 15:15 Uhr.
2. Noch 25 Minuten früher: 14:50 Uhr.
Ergebnis:
14:50 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 7 Tiere mit 16 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
6 Hühner und 1 Kaninchen: 6 · 2 + 1 · 4 = 16

Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
6 Hühner und 1 Kaninchen: 6 · 2 + 1 · 4 = 16

Ergebnis:

1 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa zählt Lina 5 Tische und 24 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
2. Das passt genau.
3. 3 Vierertische und 2 Sechsertische: 3 · 4 + 2 · 6 = 24
Ergebnis:
3 Vierertische, 2 Sechsertische
●14
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 9 Tische mit 40 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 7 Vierertische und 2 Sechsertische: 7 · 4 + 2 · 6 = 40
Ergebnis:
2 Sechsertische
★15
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 14 Fahrzeuge mit 40 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 7 Fahrräder und 7 Dreiräder ergeben 35 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 2 Fahrräder und 12 Dreiräder: 2 · 2 + 12 · 3 = 40
Ergebnis:
12 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €

Ergebnis:

0,80 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
0,67 €
●17
Ein Tennisball kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 5,40 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
2. Packung: 5,40 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Eine Fahrt kostet 2,40 €. Eine Monatskarte kostet 45,00 €. Hanna fährt im Monat 16-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 16 · 2,40 € = 38,40 €
2. Monatskarte: 45,00 €
3. Einzeln ist günstiger: Die Karte lohnt sich nicht.
Ergebnis:
Nein

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 5 Kästen liegen je 9 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?

Schritt für Schritt

5 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
5 · 9 = 45

5 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
5 · 9 = 45

Ergebnis:

45 Karten

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 6 Kästen liegen je 6 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
So fängst du an:
6 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 6 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
2. 6 · 6 = 36
Ergebnis:
36 Sticker
●20
In 4 Kästen liegen je 3 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 4 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
2. 4 · 3 = 12
Ergebnis:
12 Karten
★21
160 Sticker werden gleichmäßig auf 10 Kästen verteilt. Wie viele Sticker kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 160, 10 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 160 : 10 = 16
Ergebnis:
16 Sticker

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Ela hat 72 Bücher, Lina hat 75 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
72 + 75 = 147

Zwei Teile, gesucht das Ganze
72 + 75 = 147

Ergebnis:

147 Bücher

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Ela hat 68 Karten, Lina hat 51 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 68 + 51 = 119
Ergebnis:
119 Karten
●23
Ben hat 55 Bücher, Aylin hat 45 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 55 + 45 = 100
Ergebnis:
100 Bücher
★24
Noah und Lina haben zusammen 771 Bücher. Noah hat 309 Bücher. Wie viele Bücher hat Lina?
Lösung zeigen
1. Ganzes 771, ein Teil 309, gesucht der andere Teil
2. 771 − 309 = 462
Ergebnis:
462 Bücher

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
28 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 3.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●26
In der Klasse sind 23 Kinder. Sie spielen in 4 Teams. Wie viele Tore fallen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. Über Tore steht nichts im Text.
2. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Tom ist um 6:43 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Tom auf den nächsten Bus X34?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:50 Uhr.
2. Von 6:43 bis 6:50 Uhr sind es 7 Minuten.
Ergebnis:
7 Minuten
●28
Entlang eines Weges stehen 11 Laternen im Abstand von 5 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 11 Laternen haben 10 Abstände dazwischen.
2. 10 · 5 m = 50 m
Ergebnis:
50 m
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Jonas an 11. Stelle von vorn und an 13. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 10 Kinder, dann Jonas, dahinter 12 Kinder.
2. 10 + 1 + 12 = 23
Ergebnis:
23 Kinder
●30
Paul kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Paul 6 € geschenkt und hat jetzt 31 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 31 € − 6 € = 25 €
2. Dann den Kauf: 25 € + 10 € = 35 €
Ergebnis:
35 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
28 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 17 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:37 Uhr. Welchen Bus X34 muss Milan spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:15 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Lina hat 63 Sticker. Noah hat 13 Sticker mehr als Lina. Wie viele Sticker hat Noah?
Lösung zeigen
Ergebnis:
76 Sticker
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Lea braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 33 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15:28 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof zählt Elias 8 Tiere und 20 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 Hühner, 2 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Bleistift kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 10 Bleistiften kostet 24,70 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Packung
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 6 Kästen liegen je 4 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
24 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Jonas hat 44 Bücher, Noah hat 71 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
115 Bücher

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Der Preis für Erwachsene fehlt
Die Tore im Finale fehlen
8 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
8 Minuten
den um 7:06 Uhr
den um 7:34 Uhr
24 Karten
115 Bücher
687 Sticker
15:29 Uhr
14:47 Uhr
14:50 Uhr
3 Vierertische, 2 Sechsertische
2 Sechsertische
12 Dreiräder
0,67 €
die Packung
Nein
36 Sticker
12 Karten
16 Sticker
119 Karten
100 Bücher
462 Bücher
Der Preis für Erwachsene fehlt
nicht lösbar
7 Minuten
50 m
23 Kinder
35 €
Der Preis für Erwachsene fehlt
den um 7:15 Uhr
76 Sticker
15:28 Uhr
6 Hühner, 2 Kaninchen
die Packung
24 Bücher
115 Bücher
10:30 Uhr
120 dm