Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 7:30 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 7:30 + 1:30 = 9:00 Uhr
Ergebnis:
9:00 Uhr
●40
Rechne um: 4 h in min.
Lösung zeigen
1. 1 h = 60 min
2. 4 · 60 = 240 min
Ergebnis:
240 min

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 95 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 95 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Ergebnis:

Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
23 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 17 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 23 Kinder und 7 €.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 23 Kinder und 7 €.
2. 23 · 7 € = 161 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
161 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●2
Die 5b fährt mit 29 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 29 Kinder und 6 € je Karte.
2. 29 · 6 € = 174 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
174 €, die Filmdauer brauche ich nicht
★3
Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 95 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 28 Kinder und 9 € je Karte.
2. 28 · 9 € = 252 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
252 €, die Filmdauer brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Sofia ist um 6:44 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Sofia auf den nächsten Bus 100?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 6:56 Uhr.
Von 6:44 bis 6:56 Uhr sind es 12 Minuten.

Der nächste fährt um 6:56 Uhr.
Von 6:44 bis 6:56 Uhr sind es 12 Minuten.

Ergebnis:

12 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:45 Uhr. Welchen Bus 248 muss Lea spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:45 Uhr: 7:05, 7:20, 7:35 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:45 Uhr: 7:05, 7:20, 7:35 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:35 Uhr an.
3. Er fährt um 7:23 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:23 Uhr
●5
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:47 Uhr, an 7:08 Uhr.
2. Von 6:47 bis 7:08 Uhr sind es 21 Minuten.
Ergebnis:
21 Minuten
★6
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:52 Uhr, an 7:05 Uhr.
2. Von 6:52 bis 7:05 Uhr sind es 13 Minuten.
Ergebnis:
13 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Ela hat 79 Karten. Jonas hat 23 Karten mehr als Ela. Wie viele Karten hat Jonas?

Schritt für Schritt

Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
79 + 23 = 102

Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
79 + 23 = 102

Ergebnis:

102 Karten

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Tim hat 86 Karten. Aylin hat 23 Karten weniger als Tim. Wie viele Karten hat Aylin?
So fängst du an:
Aylin hat weniger: der Streifen von Aylin ist kürzer
Lösung zeigen
1. Aylin hat weniger: der Streifen von Aylin ist kürzer
2. 86 − 23 = 63
Ergebnis:
63 Karten
●8
Lina hat 47 Karten. Mia hat 25 Karten weniger als Lina. Wie viele Karten hat Mia?
Lösung zeigen
1. Mia hat weniger: der Streifen von Mia ist kürzer
2. 47 − 25 = 22
Ergebnis:
22 Karten
★9
Mia hat 834 Sticker, Ela hat 932 Sticker. Wie viele Sticker hat Ela mehr?
Lösung zeigen
1. Der Unterschied ist der Rest zwischen den Streifen
2. 932 − 834 = 98
Ergebnis:
98 Sticker

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Tom kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Tom 8 € geschenkt und hat jetzt 17 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 17 € − 8 € = 9 €
Dann den Kauf: 9 € + 7 € = 16 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 17 € − 8 € = 9 €
Dann den Kauf: 9 € + 7 € = 16 €

Ergebnis:

16 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Mia kauft ein Buch für 16 €. Danach bekommt Mia 7 € geschenkt und hat jetzt 23 €. Wie viel Geld hatte Mia am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 23 € − 7 € = 16 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 23 € − 7 € = 16 €
2. Dann den Kauf: 16 € + 16 € = 32 €
Ergebnis:
32 €
●11
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Paul braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 23 Minuten für den Weg. Wann muss Paul spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 15:22 Uhr.
2. Noch 23 Minuten früher: 14:59 Uhr.
Ergebnis:
14:59 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Elias braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 28 Minuten für den Weg. Wann muss Elias spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 16:54 Uhr.
2. Noch 28 Minuten früher: 16:26 Uhr.
Ergebnis:
16:26 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa zählt Milan 7 Tische und 40 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
1 Vierertisch und 6 Sechsertische: 1 · 4 + 6 · 6 = 40

Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
1 Vierertisch und 6 Sechsertische: 1 · 4 + 6 · 6 = 40

Ergebnis:

1 Vierertisch, 6 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 5 Tiere mit 12 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 4 Hühner und 1 Kaninchen: 4 · 2 + 1 · 4 = 12
Ergebnis:
1 Kaninchen
●14
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 7 Tische mit 34 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
2. Das passt genau.
3. 4 Vierertische und 3 Sechsertische: 4 · 4 + 3 · 6 = 34
Ergebnis:
3 Sechsertische
★15
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 10 Tische mit 50 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
2. Das passt genau.
3. 5 Vierertische und 5 Sechsertische: 5 · 4 + 5 · 6 = 50
Ergebnis:
5 Sechsertische

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

1,67 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,33 €
●17
Ein Bleistift kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 6 Bleistiften kostet 6,90 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,20 € = 7,20 €
2. Packung: 6,90 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Ein Bleistift kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 10 Bleistiften kostet 25,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 2,50 € = 25,00 €
2. Packung: 25,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 8 Kästen liegen je 3 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?

Schritt für Schritt

8 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
8 · 3 = 24

8 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
8 · 3 = 24

Ergebnis:

24 Karten

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 4 Kästen liegen je 7 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
So fängst du an:
4 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 4 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
2. 4 · 7 = 28
Ergebnis:
28 Karten
●20
In 8 Kästen liegen je 4 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 8 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
2. 8 · 4 = 32
Ergebnis:
32 Sticker
★21
200 Karten werden gleichmäßig auf 10 Kästen verteilt. Wie viele Karten kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 200, 10 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 200 : 10 = 20
Ergebnis:
20 Karten

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Noah hat 69 Sticker, Aylin hat 56 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
69 + 56 = 125

Zwei Teile, gesucht das Ganze
69 + 56 = 125

Ergebnis:

125 Sticker

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Noah hat 68 Karten, Ben hat 35 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 68 + 35 = 103
Ergebnis:
103 Karten
●23
Noah hat 55 Bücher, Lina hat 74 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 55 + 74 = 129
Ergebnis:
129 Bücher
★24
Jonas und Ben haben zusammen 560 Karten. Jonas hat 356 Karten. Wie viele Karten hat Ben?
Lösung zeigen
1. Ganzes 560, ein Teil 356, gesucht der andere Teil
2. 560 − 356 = 204
Ergebnis:
204 Karten

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 25 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 95 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●26
Auf einem Schiff sind 16 Schafe und 9 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
Lösung zeigen
1. Die Angaben handeln von Tieren.
2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Der Unterricht beginnt um 7:13 Uhr. Welchen Bus X34 muss Zeynep spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:13 Uhr: 6:57, 7:07 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:07 Uhr an.
3. Er fährt um 6:49 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 6:49 Uhr
●28
Entlang eines Weges stehen 8 Bäume im Abstand von 5 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 8 Bäume haben 7 Abstände dazwischen.
2. 7 · 5 m = 35 m
Ergebnis:
35 m
●29
Im Kino sitzt Emma auf Platz 9 von links. Zwischen Emma und Sofia sitzen 5 Kinder, Sofia sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Sofia?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 9 ist Emma, dann 5 Plätze dazwischen.
2. 9 + 5 + 1 = 15
Ergebnis:
Platz 15
●30
Lina kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Lina 5 € geschenkt und hat jetzt 23 €. Wie viel Geld hatte Lina am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 23 € − 5 € = 18 €
2. Dann den Kauf: 18 € + 18 € = 36 €
Ergebnis:
36 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 22 Tore geschossen. Zum Finale kamen 261 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Noah ist um 6:56 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Noah auf den nächsten Bus X34?
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Aylin hat 52 Bücher. Ben hat 12 Bücher mehr als Aylin. Wie viele Bücher hat Ben?
Lösung zeigen
Ergebnis:
64 Bücher
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Lea kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Lea 8 € geschenkt und hat jetzt 24 €. Wie viel Geld hatte Lea am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
23 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 10 Tische mit 50 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
5 Sechsertische
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 6 Riegeln kostet 7,50 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Riegel braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 7 Kästen liegen je 6 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
42 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Ben hat 66 Karten, Lina hat 70 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
136 Karten

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

161 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
174 €, die Filmdauer brauche ich nicht
252 €, die Filmdauer brauche ich nicht
den um 7:23 Uhr
21 Minuten
13 Minuten
63 Karten
22 Karten
98 Sticker
32 €
14:59 Uhr
16:26 Uhr
1 Kaninchen
3 Sechsertische
5 Sechsertische
1,33 €
die Packung
einzeln
28 Karten
32 Sticker
20 Karten
103 Karten
129 Bücher
204 Karten
Der Beginn des Films fehlt
nicht lösbar
den um 6:49 Uhr
35 m
Platz 15
36 €
Die Tore im Finale fehlen
2 Minuten
64 Bücher
23 €
5 Sechsertische
einzeln
42 Bücher
136 Karten
9:00 Uhr
240 min

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 7:30 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 7:30 + 1:30 = 9:00 Uhr
Ergebnis:
9:00 Uhr
●40
Rechne um: 4 h in min.
Lösung zeigen
1. 1 h = 60 min
2. 4 · 60 = 240 min
Ergebnis:
240 min

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 95 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 95 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Ergebnis:

Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
23 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 17 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 23 Kinder und 7 €.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 23 Kinder und 7 €.
2. 23 · 7 € = 161 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
161 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●2
Die 5b fährt mit 29 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 29 Kinder und 6 € je Karte.
2. 29 · 6 € = 174 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
174 €, die Filmdauer brauche ich nicht
★3
Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 95 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 28 Kinder und 9 € je Karte.
2. 28 · 9 € = 252 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
252 €, die Filmdauer brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Sofia ist um 6:44 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Sofia auf den nächsten Bus 100?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 6:56 Uhr.
Von 6:44 bis 6:56 Uhr sind es 12 Minuten.

Der nächste fährt um 6:56 Uhr.
Von 6:44 bis 6:56 Uhr sind es 12 Minuten.

Ergebnis:

12 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:45 Uhr. Welchen Bus 248 muss Lea spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:45 Uhr: 7:05, 7:20, 7:35 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:45 Uhr: 7:05, 7:20, 7:35 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:35 Uhr an.
3. Er fährt um 7:23 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:23 Uhr
●5
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:47 Uhr, an 7:08 Uhr.
2. Von 6:47 bis 7:08 Uhr sind es 21 Minuten.
Ergebnis:
21 Minuten
★6
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:52 Uhr, an 7:05 Uhr.
2. Von 6:52 bis 7:05 Uhr sind es 13 Minuten.
Ergebnis:
13 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Ela hat 79 Karten. Jonas hat 23 Karten mehr als Ela. Wie viele Karten hat Jonas?

Schritt für Schritt

Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
79 + 23 = 102

Jonas hat mehr: der Streifen von Jonas ist länger
79 + 23 = 102

Ergebnis:

102 Karten

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Tim hat 86 Karten. Aylin hat 23 Karten weniger als Tim. Wie viele Karten hat Aylin?
So fängst du an:
Aylin hat weniger: der Streifen von Aylin ist kürzer
Lösung zeigen
1. Aylin hat weniger: der Streifen von Aylin ist kürzer
2. 86 − 23 = 63
Ergebnis:
63 Karten
●8
Lina hat 47 Karten. Mia hat 25 Karten weniger als Lina. Wie viele Karten hat Mia?
Lösung zeigen
1. Mia hat weniger: der Streifen von Mia ist kürzer
2. 47 − 25 = 22
Ergebnis:
22 Karten
★9
Mia hat 834 Sticker, Ela hat 932 Sticker. Wie viele Sticker hat Ela mehr?
Lösung zeigen
1. Der Unterschied ist der Rest zwischen den Streifen
2. 932 − 834 = 98
Ergebnis:
98 Sticker

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Tom kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Tom 8 € geschenkt und hat jetzt 17 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 17 € − 8 € = 9 €
Dann den Kauf: 9 € + 7 € = 16 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 17 € − 8 € = 9 €
Dann den Kauf: 9 € + 7 € = 16 €

Ergebnis:

16 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Mia kauft ein Buch für 16 €. Danach bekommt Mia 7 € geschenkt und hat jetzt 23 €. Wie viel Geld hatte Mia am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 23 € − 7 € = 16 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 23 € − 7 € = 16 €
2. Dann den Kauf: 16 € + 16 € = 32 €
Ergebnis:
32 €
●11
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Paul braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 23 Minuten für den Weg. Wann muss Paul spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 15:22 Uhr.
2. Noch 23 Minuten früher: 14:59 Uhr.
Ergebnis:
14:59 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Elias braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 28 Minuten für den Weg. Wann muss Elias spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 16:54 Uhr.
2. Noch 28 Minuten früher: 16:26 Uhr.
Ergebnis:
16:26 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa zählt Milan 7 Tische und 40 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
1 Vierertisch und 6 Sechsertische: 1 · 4 + 6 · 6 = 40

Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
1 Vierertisch und 6 Sechsertische: 1 · 4 + 6 · 6 = 40

Ergebnis:

1 Vierertisch, 6 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 5 Tiere mit 12 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 4 Hühner und 1 Kaninchen: 4 · 2 + 1 · 4 = 12
Ergebnis:
1 Kaninchen
●14
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 7 Tische mit 34 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
2. Das passt genau.
3. 4 Vierertische und 3 Sechsertische: 4 · 4 + 3 · 6 = 34
Ergebnis:
3 Sechsertische
★15
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 10 Tische mit 50 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
2. Das passt genau.
3. 5 Vierertische und 5 Sechsertische: 5 · 4 + 5 · 6 = 50
Ergebnis:
5 Sechsertische

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

1,67 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,33 €
●17
Ein Bleistift kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 6 Bleistiften kostet 6,90 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,20 € = 7,20 €
2. Packung: 6,90 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Ein Bleistift kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 10 Bleistiften kostet 25,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 2,50 € = 25,00 €
2. Packung: 25,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 8 Kästen liegen je 3 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?

Schritt für Schritt

8 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
8 · 3 = 24

8 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
8 · 3 = 24

Ergebnis:

24 Karten

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 4 Kästen liegen je 7 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
So fängst du an:
4 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 4 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
2. 4 · 7 = 28
Ergebnis:
28 Karten
●20
In 8 Kästen liegen je 4 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 8 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
2. 8 · 4 = 32
Ergebnis:
32 Sticker
★21
200 Karten werden gleichmäßig auf 10 Kästen verteilt. Wie viele Karten kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 200, 10 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 200 : 10 = 20
Ergebnis:
20 Karten

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Noah hat 69 Sticker, Aylin hat 56 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
69 + 56 = 125

Zwei Teile, gesucht das Ganze
69 + 56 = 125

Ergebnis:

125 Sticker

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Noah hat 68 Karten, Ben hat 35 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 68 + 35 = 103
Ergebnis:
103 Karten
●23
Noah hat 55 Bücher, Lina hat 74 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 55 + 74 = 129
Ergebnis:
129 Bücher
★24
Jonas und Ben haben zusammen 560 Karten. Jonas hat 356 Karten. Wie viele Karten hat Ben?
Lösung zeigen
1. Ganzes 560, ein Teil 356, gesucht der andere Teil
2. 560 − 356 = 204
Ergebnis:
204 Karten

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 25 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 95 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●26
Auf einem Schiff sind 16 Schafe und 9 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
Lösung zeigen
1. Die Angaben handeln von Tieren.
2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Der Unterricht beginnt um 7:13 Uhr. Welchen Bus X34 muss Zeynep spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:13 Uhr: 6:57, 7:07 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:07 Uhr an.
3. Er fährt um 6:49 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 6:49 Uhr
●28
Entlang eines Weges stehen 8 Bäume im Abstand von 5 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 8 Bäume haben 7 Abstände dazwischen.
2. 7 · 5 m = 35 m
Ergebnis:
35 m
●29
Im Kino sitzt Emma auf Platz 9 von links. Zwischen Emma und Sofia sitzen 5 Kinder, Sofia sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Sofia?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 9 ist Emma, dann 5 Plätze dazwischen.
2. 9 + 5 + 1 = 15
Ergebnis:
Platz 15
●30
Lina kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Lina 5 € geschenkt und hat jetzt 23 €. Wie viel Geld hatte Lina am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 23 € − 5 € = 18 €
2. Dann den Kauf: 18 € + 18 € = 36 €
Ergebnis:
36 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 22 Tore geschossen. Zum Finale kamen 261 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Noah ist um 6:56 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Noah auf den nächsten Bus X34?
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Aylin hat 52 Bücher. Ben hat 12 Bücher mehr als Aylin. Wie viele Bücher hat Ben?
Lösung zeigen
Ergebnis:
64 Bücher
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Lea kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Lea 8 € geschenkt und hat jetzt 24 €. Wie viel Geld hatte Lea am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
23 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 10 Tische mit 50 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
5 Sechsertische
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 6 Riegeln kostet 7,50 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Riegel braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 7 Kästen liegen je 6 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
42 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Ben hat 66 Karten, Lina hat 70 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
136 Karten

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

161 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
174 €, die Filmdauer brauche ich nicht
252 €, die Filmdauer brauche ich nicht
den um 7:23 Uhr
21 Minuten
13 Minuten
63 Karten
22 Karten
98 Sticker
32 €
14:59 Uhr
16:26 Uhr
1 Kaninchen
3 Sechsertische
5 Sechsertische
1,33 €
die Packung
einzeln
28 Karten
32 Sticker
20 Karten
103 Karten
129 Bücher
204 Karten
Der Beginn des Films fehlt
nicht lösbar
den um 6:49 Uhr
35 m
Platz 15
36 €
Die Tore im Finale fehlen
2 Minuten
64 Bücher
23 €
5 Sechsertische
einzeln
42 Bücher
136 Karten
9:00 Uhr
240 min