Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:45 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 8:45 + 1:00 = 9:45 Uhr
Ergebnis:
9:45 Uhr
●40
Rechne um: 15 kg in g.
Lösung zeigen
1. 1 kg = 1.000 g
2. 15 · 1.000 = 15.000 g
Ergebnis:
15.000 g

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 24 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 24 Kinder und 9 € je Karte.
24 · 9 € = 216 €
Nicht gebraucht: die Filmdauer.

Gebraucht: 24 Kinder und 9 € je Karte.
24 · 9 € = 216 €
Nicht gebraucht: die Filmdauer.

Ergebnis:

216 €, die Filmdauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 29 Tore geschossen. Zum Finale kamen 264 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●2
27 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 12 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 27 Kinder und 6 €.
2. 27 · 6 € = 162 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
162 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
★3
22 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 6 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viele Kilometer fahren alle Kinder zusammen hin und zurück?
Lösung zeigen
1. Ein Kind fährt hin und zurück: 2 · 6 km = 12 km.
2. 22 Kinder: 22 · 12 km = 264 km
3. Nicht gebraucht: Eintritt und Lehrkräfte.
Ergebnis:
264 km

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Milan ist um 6:48 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Milan auf den nächsten Bus X34?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 6:50 Uhr.
Von 6:48 bis 6:50 Uhr sind es 2 Minuten.

Der nächste fährt um 6:50 Uhr.
Von 6:48 bis 6:50 Uhr sind es 2 Minuten.

Ergebnis:

2 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
So fängst du an:
Zum Beispiel: ab 6:53 Uhr, an 7:07 Uhr.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:53 Uhr, an 7:07 Uhr.
2. Von 6:53 bis 7:07 Uhr sind es 14 Minuten.
Ergebnis:
14 Minuten
●5
Der Unterricht beginnt um 7:54 Uhr. Welchen Bus M29 muss Elias spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:54 Uhr: 7:11, 7:31, 7:51 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:51 Uhr an.
3. Er fährt um 7:30 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:30 Uhr
★6
Elias braucht 8 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus M29 um 7:30 Uhr nehmen. Wann muss Elias spätestens los, und wann ist Elias an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 8 Minuten vor 7:30 Uhr, also 7:22 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:42 Uhr.
Ergebnis:
los um 7:22 Uhr, an um 7:42 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Jonas hat 67 Murmeln. Tim hat 26 Murmeln weniger als Jonas. Wie viele Murmeln hat Tim?

Schritt für Schritt

Tim hat weniger: der Streifen von Tim ist kürzer
67 − 26 = 41

Tim hat weniger: der Streifen von Tim ist kürzer
67 − 26 = 41

Ergebnis:

41 Murmeln

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Ela hat 71 Bücher. Jonas hat 6 Bücher weniger als Ela. Wie viele Bücher hat Jonas?
So fängst du an:
Jonas hat weniger: der Streifen von Jonas ist kürzer
Lösung zeigen
1. Jonas hat weniger: der Streifen von Jonas ist kürzer
2. 71 − 6 = 65
Ergebnis:
65 Bücher
●8
Tim hat 83 Bücher. Aylin hat 27 Bücher mehr als Tim. Wie viele Bücher hat Aylin?
Lösung zeigen
1. Aylin hat mehr: der Streifen von Aylin ist länger
2. 83 + 27 = 110
Ergebnis:
110 Bücher
★9
Noah hat 548 Bücher. Mia hat 125 Bücher mehr als Noah. Wie viele Bücher hat Mia?
Lösung zeigen
1. Mia hat mehr: der Streifen von Mia ist länger
2. 548 + 125 = 673
Ergebnis:
673 Bücher

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Milan braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 27 Minuten für den Weg. Wann muss Milan spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 15:50 Uhr.
Noch 27 Minuten früher: 15:23 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 15:50 Uhr.
Noch 27 Minuten früher: 15:23 Uhr.

Ergebnis:

15:23 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Mia braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 18 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 15:45 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 15:45 Uhr.
2. Noch 18 Minuten früher: 15:27 Uhr.
Ergebnis:
15:27 Uhr
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Noah braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 15 Minuten für den Weg. Wann muss Noah spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 16:06 Uhr.
2. Noch 15 Minuten früher: 15:51 Uhr.
Ergebnis:
15:51 Uhr
★12
Zeynep kauft ein Buch für 5 €. Danach bekommt Zeynep 9 € geschenkt und hat jetzt 18 €. Wie viel Geld hatte Zeynep am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 18 € − 9 € = 9 €
2. Dann den Kauf: 9 € + 5 € = 14 €
Ergebnis:
14 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita zählt Can 7 Fahrzeuge und 19 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
2 Fahrräder und 5 Dreiräder: 2 · 2 + 5 · 3 = 19

Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
2 Fahrräder und 5 Dreiräder: 2 · 2 + 5 · 3 = 19

Ergebnis:

2 Fahrräder, 5 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof zählt Elias 7 Tiere und 16 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 6 Hühner und 1 Kaninchen: 6 · 2 + 1 · 4 = 16
Ergebnis:
6 Hühner, 1 Kaninchen
●14
Auf einem Hof zählt Sofia 10 Tiere und 34 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 3 Hühner und 7 Kaninchen: 3 · 2 + 7 · 4 = 34
Ergebnis:
3 Hühner, 7 Kaninchen
★15
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 15 Tiere mit 40 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 8 Hühner und 7 Kaninchen ergeben 44 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 10 Hühner und 5 Kaninchen: 10 · 2 + 5 · 4 = 40
Ergebnis:
5 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Bleistift kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 5,10 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 1,20 € = 4,80 €
Packung: 5,10 €
Einzeln ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 1,20 € = 4,80 €
Packung: 5,10 €
Einzeln ist günstiger.

Ergebnis:

einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 14,70 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?
So fängst du an:
10 einzeln: 10 · 1,50 € = 15,00 €
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,50 € = 15,00 €
2. Packung: 14,70 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
●17
Ein Bleistift kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 6 Bleistiften kostet 9,80 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,80 € = 10,80 €
2. Packung: 9,80 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Eine Fahrt kostet 2,80 €. Eine Monatskarte kostet 45,00 €. Jonas fährt im Monat 20-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 20 · 2,80 € = 56,00 €
2. Monatskarte: 45,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 7 Kästen liegen je 7 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?

Schritt für Schritt

7 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
7 · 7 = 49

7 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
7 · 7 = 49

Ergebnis:

49 Bücher

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 4 Kästen liegen je 3 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
So fängst du an:
4 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 4 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
2. 4 · 3 = 12
Ergebnis:
12 Sticker
●20
In 8 Kästen liegen je 4 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 8 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
2. 8 · 4 = 32
Ergebnis:
32 Murmeln
★21
275 Sticker werden gleichmäßig auf 11 Kästen verteilt. Wie viele Sticker kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 275, 11 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 275 : 11 = 25
Ergebnis:
25 Sticker

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Noah hat 23 Bücher, Ben hat 80 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
23 + 80 = 103

Zwei Teile, gesucht das Ganze
23 + 80 = 103

Ergebnis:

103 Bücher

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Aylin hat 34 Sticker, Noah hat 42 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 34 + 42 = 76
Ergebnis:
76 Sticker
●23
Lina hat 73 Karten, Aylin hat 56 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 73 + 56 = 129
Ergebnis:
129 Karten
★24
Tim und Noah haben zusammen 587 Murmeln. Tim hat 203 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Noah?
Lösung zeigen
1. Ganzes 587, ein Teil 203, gesucht der andere Teil
2. 587 − 203 = 384
Ergebnis:
384 Murmeln

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 30 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 30 Kinder und 8 € je Karte.
2. 30 · 8 € = 240 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
240 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●26
In der Klasse sind 24 Kinder. Sie spielen in 4 Teams. Wie viele Tore fallen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. Über Tore steht nichts im Text.
2. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Der Unterricht beginnt um 7:55 Uhr. Welchen Bus 100 muss Aylin spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:55 Uhr: 6:51, 7:11, 7:31, 7:51 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:51 Uhr an.
3. Er fährt um 7:38 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:38 Uhr
●28
Ein Weg ist 20 m lang. Alle 5 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 20 : 5 = 4
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 4 + 1 = 5
Ergebnis:
5 Laternen
●29
Im Kino sitzt Can auf Platz 7 von links. Zwischen Can und Tom sitzen 4 Kinder, Tom sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Tom?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 7 ist Can, dann 4 Plätze dazwischen.
2. 7 + 4 + 1 = 12
Ergebnis:
Platz 12
●30
Tom kauft ein Buch für 14 €. Danach bekommt Tom 10 € geschenkt und hat jetzt 32 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 32 € − 10 € = 22 €
2. Dann den Kauf: 22 € + 14 € = 36 €
Ergebnis:
36 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
29 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 7 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
145 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
Ergebnis:
22 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Lina hat 41 Murmeln. Mia hat 11 Murmeln weniger als Lina. Wie viele Murmeln hat Mia?
Lösung zeigen
Ergebnis:
30 Murmeln
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Sofia kauft ein Buch für 16 €. Danach bekommt Sofia 7 € geschenkt und hat jetzt 23 €. Wie viel Geld hatte Sofia am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
32 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
In der Mensa zählt Sofia 8 Tische und 46 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1 Vierertisch, 7 Sechsertische
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 11,40 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 8 Kästen liegen je 9 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
72 Karten
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Jonas hat 30 Sticker, Tim hat 24 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
54 Sticker

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Die Tore im Finale fehlen
162 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
264 km
14 Minuten
den um 7:30 Uhr
los um 7:22 Uhr, an um 7:42 Uhr
65 Bücher
110 Bücher
673 Bücher
15:27 Uhr
15:51 Uhr
14 €
6 Hühner, 1 Kaninchen
3 Hühner, 7 Kaninchen
5 Kaninchen
die Packung
die Packung
Ja
12 Sticker
32 Murmeln
25 Sticker
76 Sticker
129 Karten
384 Murmeln
240 €, die Filmdauer brauche ich nicht
nicht lösbar
den um 7:38 Uhr
5 Laternen
Platz 12
36 €
145 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
22 Minuten
30 Murmeln
32 €
1 Vierertisch, 7 Sechsertische
einzeln
72 Karten
54 Sticker
9:45 Uhr
15.000 g

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:45 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 8:45 + 1:00 = 9:45 Uhr
Ergebnis:
9:45 Uhr
●40
Rechne um: 15 kg in g.
Lösung zeigen
1. 1 kg = 1.000 g
2. 15 · 1.000 = 15.000 g
Ergebnis:
15.000 g

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 24 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 24 Kinder und 9 € je Karte.
24 · 9 € = 216 €
Nicht gebraucht: die Filmdauer.

Gebraucht: 24 Kinder und 9 € je Karte.
24 · 9 € = 216 €
Nicht gebraucht: die Filmdauer.

Ergebnis:

216 €, die Filmdauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 29 Tore geschossen. Zum Finale kamen 264 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●2
27 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 12 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 27 Kinder und 6 €.
2. 27 · 6 € = 162 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
162 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
★3
22 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 6 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viele Kilometer fahren alle Kinder zusammen hin und zurück?
Lösung zeigen
1. Ein Kind fährt hin und zurück: 2 · 6 km = 12 km.
2. 22 Kinder: 22 · 12 km = 264 km
3. Nicht gebraucht: Eintritt und Lehrkräfte.
Ergebnis:
264 km

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Milan ist um 6:48 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Milan auf den nächsten Bus X34?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 6:50 Uhr.
Von 6:48 bis 6:50 Uhr sind es 2 Minuten.

Der nächste fährt um 6:50 Uhr.
Von 6:48 bis 6:50 Uhr sind es 2 Minuten.

Ergebnis:

2 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
So fängst du an:
Zum Beispiel: ab 6:53 Uhr, an 7:07 Uhr.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:53 Uhr, an 7:07 Uhr.
2. Von 6:53 bis 7:07 Uhr sind es 14 Minuten.
Ergebnis:
14 Minuten
●5
Der Unterricht beginnt um 7:54 Uhr. Welchen Bus M29 muss Elias spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:54 Uhr: 7:11, 7:31, 7:51 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:51 Uhr an.
3. Er fährt um 7:30 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:30 Uhr
★6
Elias braucht 8 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus M29 um 7:30 Uhr nehmen. Wann muss Elias spätestens los, und wann ist Elias an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 8 Minuten vor 7:30 Uhr, also 7:22 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:42 Uhr.
Ergebnis:
los um 7:22 Uhr, an um 7:42 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Jonas hat 67 Murmeln. Tim hat 26 Murmeln weniger als Jonas. Wie viele Murmeln hat Tim?

Schritt für Schritt

Tim hat weniger: der Streifen von Tim ist kürzer
67 − 26 = 41

Tim hat weniger: der Streifen von Tim ist kürzer
67 − 26 = 41

Ergebnis:

41 Murmeln

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Ela hat 71 Bücher. Jonas hat 6 Bücher weniger als Ela. Wie viele Bücher hat Jonas?
So fängst du an:
Jonas hat weniger: der Streifen von Jonas ist kürzer
Lösung zeigen
1. Jonas hat weniger: der Streifen von Jonas ist kürzer
2. 71 − 6 = 65
Ergebnis:
65 Bücher
●8
Tim hat 83 Bücher. Aylin hat 27 Bücher mehr als Tim. Wie viele Bücher hat Aylin?
Lösung zeigen
1. Aylin hat mehr: der Streifen von Aylin ist länger
2. 83 + 27 = 110
Ergebnis:
110 Bücher
★9
Noah hat 548 Bücher. Mia hat 125 Bücher mehr als Noah. Wie viele Bücher hat Mia?
Lösung zeigen
1. Mia hat mehr: der Streifen von Mia ist länger
2. 548 + 125 = 673
Ergebnis:
673 Bücher

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Milan braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 27 Minuten für den Weg. Wann muss Milan spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 15:50 Uhr.
Noch 27 Minuten früher: 15:23 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 15:50 Uhr.
Noch 27 Minuten früher: 15:23 Uhr.

Ergebnis:

15:23 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Mia braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 18 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 15:45 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 15:45 Uhr.
2. Noch 18 Minuten früher: 15:27 Uhr.
Ergebnis:
15:27 Uhr
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Noah braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 15 Minuten für den Weg. Wann muss Noah spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 16:06 Uhr.
2. Noch 15 Minuten früher: 15:51 Uhr.
Ergebnis:
15:51 Uhr
★12
Zeynep kauft ein Buch für 5 €. Danach bekommt Zeynep 9 € geschenkt und hat jetzt 18 €. Wie viel Geld hatte Zeynep am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 18 € − 9 € = 9 €
2. Dann den Kauf: 9 € + 5 € = 14 €
Ergebnis:
14 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita zählt Can 7 Fahrzeuge und 19 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
2 Fahrräder und 5 Dreiräder: 2 · 2 + 5 · 3 = 19

Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
2 Fahrräder und 5 Dreiräder: 2 · 2 + 5 · 3 = 19

Ergebnis:

2 Fahrräder, 5 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof zählt Elias 7 Tiere und 16 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 6 Hühner und 1 Kaninchen: 6 · 2 + 1 · 4 = 16
Ergebnis:
6 Hühner, 1 Kaninchen
●14
Auf einem Hof zählt Sofia 10 Tiere und 34 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 3 Hühner und 7 Kaninchen: 3 · 2 + 7 · 4 = 34
Ergebnis:
3 Hühner, 7 Kaninchen
★15
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 15 Tiere mit 40 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 8 Hühner und 7 Kaninchen ergeben 44 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 10 Hühner und 5 Kaninchen: 10 · 2 + 5 · 4 = 40
Ergebnis:
5 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Bleistift kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 5,10 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 1,20 € = 4,80 €
Packung: 5,10 €
Einzeln ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 1,20 € = 4,80 €
Packung: 5,10 €
Einzeln ist günstiger.

Ergebnis:

einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 14,70 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?
So fängst du an:
10 einzeln: 10 · 1,50 € = 15,00 €
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,50 € = 15,00 €
2. Packung: 14,70 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
●17
Ein Bleistift kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 6 Bleistiften kostet 9,80 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,80 € = 10,80 €
2. Packung: 9,80 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Eine Fahrt kostet 2,80 €. Eine Monatskarte kostet 45,00 €. Jonas fährt im Monat 20-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 20 · 2,80 € = 56,00 €
2. Monatskarte: 45,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 7 Kästen liegen je 7 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?

Schritt für Schritt

7 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
7 · 7 = 49

7 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
7 · 7 = 49

Ergebnis:

49 Bücher

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 4 Kästen liegen je 3 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
So fängst du an:
4 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 4 gleiche Teile zu je 3, gesucht das Ganze
2. 4 · 3 = 12
Ergebnis:
12 Sticker
●20
In 8 Kästen liegen je 4 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 8 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
2. 8 · 4 = 32
Ergebnis:
32 Murmeln
★21
275 Sticker werden gleichmäßig auf 11 Kästen verteilt. Wie viele Sticker kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 275, 11 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 275 : 11 = 25
Ergebnis:
25 Sticker

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Noah hat 23 Bücher, Ben hat 80 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
23 + 80 = 103

Zwei Teile, gesucht das Ganze
23 + 80 = 103

Ergebnis:

103 Bücher

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Aylin hat 34 Sticker, Noah hat 42 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 34 + 42 = 76
Ergebnis:
76 Sticker
●23
Lina hat 73 Karten, Aylin hat 56 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 73 + 56 = 129
Ergebnis:
129 Karten
★24
Tim und Noah haben zusammen 587 Murmeln. Tim hat 203 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Noah?
Lösung zeigen
1. Ganzes 587, ein Teil 203, gesucht der andere Teil
2. 587 − 203 = 384
Ergebnis:
384 Murmeln

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 30 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 30 Kinder und 8 € je Karte.
2. 30 · 8 € = 240 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
240 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●26
In der Klasse sind 24 Kinder. Sie spielen in 4 Teams. Wie viele Tore fallen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. Über Tore steht nichts im Text.
2. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Der Unterricht beginnt um 7:55 Uhr. Welchen Bus 100 muss Aylin spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:55 Uhr: 6:51, 7:11, 7:31, 7:51 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:51 Uhr an.
3. Er fährt um 7:38 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:38 Uhr
●28
Ein Weg ist 20 m lang. Alle 5 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 20 : 5 = 4
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 4 + 1 = 5
Ergebnis:
5 Laternen
●29
Im Kino sitzt Can auf Platz 7 von links. Zwischen Can und Tom sitzen 4 Kinder, Tom sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Tom?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 7 ist Can, dann 4 Plätze dazwischen.
2. 7 + 4 + 1 = 12
Ergebnis:
Platz 12
●30
Tom kauft ein Buch für 14 €. Danach bekommt Tom 10 € geschenkt und hat jetzt 32 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 32 € − 10 € = 22 €
2. Dann den Kauf: 22 € + 14 € = 36 €
Ergebnis:
36 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
29 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 7 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
145 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
Ergebnis:
22 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Lina hat 41 Murmeln. Mia hat 11 Murmeln weniger als Lina. Wie viele Murmeln hat Mia?
Lösung zeigen
Ergebnis:
30 Murmeln
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Sofia kauft ein Buch für 16 €. Danach bekommt Sofia 7 € geschenkt und hat jetzt 23 €. Wie viel Geld hatte Sofia am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
32 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
In der Mensa zählt Sofia 8 Tische und 46 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1 Vierertisch, 7 Sechsertische
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 11,40 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 8 Kästen liegen je 9 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
72 Karten
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Jonas hat 30 Sticker, Tim hat 24 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
54 Sticker

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Die Tore im Finale fehlen
162 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
264 km
14 Minuten
den um 7:30 Uhr
los um 7:22 Uhr, an um 7:42 Uhr
65 Bücher
110 Bücher
673 Bücher
15:27 Uhr
15:51 Uhr
14 €
6 Hühner, 1 Kaninchen
3 Hühner, 7 Kaninchen
5 Kaninchen
die Packung
die Packung
Ja
12 Sticker
32 Murmeln
25 Sticker
76 Sticker
129 Karten
384 Murmeln
240 €, die Filmdauer brauche ich nicht
nicht lösbar
den um 7:38 Uhr
5 Laternen
Platz 12
36 €
145 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
22 Minuten
30 Murmeln
32 €
1 Vierertisch, 7 Sechsertische
einzeln
72 Karten
54 Sticker
9:45 Uhr
15.000 g