Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 7:30 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 7:30 + 1:00 = 8:30 Uhr
Ergebnis:
8:30 Uhr
●40
Rechne um: 8 € in ct.
Lösung zeigen
1. 1 € = 100 ct
2. 8 · 100 = 800 ct
Ergebnis:
800 ct

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

30 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 8 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 2.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 2.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Ergebnis:

Der Preis für Erwachsene fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 120 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 120 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●2
28 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 14 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 3.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
★3
Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 23 Kinder und 8 € je Karte.
2. 23 · 8 € = 184 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
184 €, die Filmdauer brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Tom ist um 6:48 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Tom auf den nächsten Bus 100?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 6:59 Uhr.
Von 6:48 bis 6:59 Uhr sind es 11 Minuten.

Der nächste fährt um 6:59 Uhr.
Von 6:48 bis 6:59 Uhr sind es 11 Minuten.

Ergebnis:

11 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Can ist um 6:51 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Can auf den nächsten Bus 248?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:03 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:03 Uhr.
2. Von 6:51 bis 7:03 Uhr sind es 12 Minuten.
Ergebnis:
12 Minuten
●5
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:51 Uhr, an 7:05 Uhr.
2. Von 6:51 bis 7:05 Uhr sind es 14 Minuten.
Ergebnis:
14 Minuten
★6
Der Unterricht beginnt um 7:45 Uhr. Welchen Bus 248 muss Lina spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:45 Uhr: 7:07, 7:17, 7:27, 7:37 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:37 Uhr an.
3. Er fährt um 7:12 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:12 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Noah hat 76 Murmeln. Jonas hat 9 Murmeln weniger als Noah. Wie viele Murmeln hat Jonas?

Schritt für Schritt

Jonas hat weniger: der Streifen von Jonas ist kürzer
76 − 9 = 67

Jonas hat weniger: der Streifen von Jonas ist kürzer
76 − 9 = 67

Ergebnis:

67 Murmeln

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Lina hat 43 Bücher. Tim hat 30 Bücher mehr als Lina. Wie viele Bücher hat Tim?
So fängst du an:
Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
Lösung zeigen
1. Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
2. 43 + 30 = 73
Ergebnis:
73 Bücher
●8
Tim hat 43 Sticker. Aylin hat 14 Sticker weniger als Tim. Wie viele Sticker hat Aylin?
Lösung zeigen
1. Aylin hat weniger: der Streifen von Aylin ist kürzer
2. 43 − 14 = 29
Ergebnis:
29 Sticker
★9
Aylin hat 429 Karten. Mia hat 135 Karten mehr als Aylin. Wie viele Karten hat Mia?
Lösung zeigen
1. Mia hat mehr: der Streifen von Mia ist länger
2. 429 + 135 = 564
Ergebnis:
564 Karten

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Mia braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 19 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 15:47 Uhr.
Noch 19 Minuten früher: 15:28 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 15:47 Uhr.
Noch 19 Minuten früher: 15:28 Uhr.

Ergebnis:

15:28 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Sofia braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 18 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 16:51 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 16:51 Uhr.
2. Noch 18 Minuten früher: 16:33 Uhr.
Ergebnis:
16:33 Uhr
●11
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Hanna braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 31 Minuten für den Weg. Wann muss Hanna spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 15:20 Uhr.
2. Noch 31 Minuten früher: 14:49 Uhr.
Ergebnis:
14:49 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Ben braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 32 Minuten für den Weg. Wann muss Ben spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 16:05 Uhr.
2. Noch 32 Minuten früher: 15:33 Uhr.
Ergebnis:
15:33 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa zählt Lea 9 Tische und 48 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3 Vierertische und 6 Sechsertische: 3 · 4 + 6 · 6 = 48

Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3 Vierertische und 6 Sechsertische: 3 · 4 + 6 · 6 = 48

Ergebnis:

3 Vierertische, 6 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof zählt Lea 8 Tiere und 30 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Huhn und 7 Kaninchen: 1 · 2 + 7 · 4 = 30
Ergebnis:
1 Huhn, 7 Kaninchen
●14
In der Mensa zählt Emma 5 Tische und 22 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 4 Vierertische und 1 Sechsertisch: 4 · 4 + 1 · 6 = 22
Ergebnis:
4 Vierertische, 1 Sechsertisch
★15
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 20 Fahrzeuge mit 44 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 10 Fahrräder und 10 Dreiräder ergeben 50 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 16 Fahrräder und 4 Dreiräder: 16 · 2 + 4 · 3 = 44
Ergebnis:
4 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €

Ergebnis:

0,80 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 6 Riegeln kostet 9,30 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Riegel braucht?
So fängst du an:
6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
2. Packung: 9,30 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
●17
Ein Bleistift kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 10 Bleistiften kostet 14,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,50 € = 15,00 €
2. Packung: 14,40 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Eine Fahrt kostet 2,80 €. Eine Monatskarte kostet 45,00 €. Aylin fährt im Monat 17-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 17 · 2,80 € = 47,60 €
2. Monatskarte: 45,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 4 Kästen liegen je 9 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?

Schritt für Schritt

4 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
4 · 9 = 36

4 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
4 · 9 = 36

Ergebnis:

36 Karten

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 5 Kästen liegen je 4 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
So fängst du an:
5 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
2. 5 · 4 = 20
Ergebnis:
20 Bücher
●20
In 4 Kästen liegen je 5 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 4 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
2. 4 · 5 = 20
Ergebnis:
20 Karten
★21
84 Karten werden gleichmäßig auf 7 Kästen verteilt. Wie viele Karten kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 84, 7 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 84 : 7 = 12
Ergebnis:
12 Karten

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Ben hat 88 Karten, Noah hat 63 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
88 + 63 = 151

Zwei Teile, gesucht das Ganze
88 + 63 = 151

Ergebnis:

151 Karten

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Jonas hat 53 Karten, Noah hat 90 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 53 + 90 = 143
Ergebnis:
143 Karten
●23
Tim hat 90 Karten, Lina hat 36 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 90 + 36 = 126
Ergebnis:
126 Karten
★24
Mia und Ela haben zusammen 374 Murmeln. Mia hat 187 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Ela?
Lösung zeigen
1. Ganzes 374, ein Teil 187, gesucht der andere Teil
2. 374 − 187 = 187
Ergebnis:
187 Murmeln

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
24 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 6 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●26
Ein Regal hat 4 Böden. Auf jedem stehen 26 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: 4 Böden, 26 Bücher je Boden.
2. Über die Seiten steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Emma ist um 6:45 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Emma auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:51 Uhr.
2. Von 6:45 bis 6:51 Uhr sind es 6 Minuten.
Ergebnis:
6 Minuten
●28
Ein Weg ist 12 m lang. Alle 2 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 12 : 2 = 6
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 6 + 1 = 7
Ergebnis:
7 Laternen
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Emma an 12. Stelle von vorn und an 10. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 11 Kinder, dann Emma, dahinter 9 Kinder.
2. 11 + 1 + 9 = 21
Ergebnis:
21 Kinder
●30
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Tom braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 24 Minuten für den Weg. Wann muss Tom spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 15:24 Uhr.
2. Noch 24 Minuten früher: 15:00 Uhr.
Ergebnis:
15:00 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
24 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 6 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Hanna ist um 6:54 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Hanna auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
Ergebnis:
17 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Ben hat 63 Karten. Lina hat 27 Karten weniger als Ben. Wie viele Karten hat Lina?
Lösung zeigen
Ergebnis:
36 Karten
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Lina kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Lina 11 € geschenkt und hat jetzt 16 €. Wie viel Geld hatte Lina am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
12 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof zählt Sofia 9 Tiere und 34 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1 Huhn, 8 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Tennisball kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 9,70 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Packung
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 8 Kästen liegen je 6 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
48 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Ela hat 32 Sticker, Noah hat 37 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
69 Sticker

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Der Beginn des Films fehlt
Der Preis für Erwachsene fehlt
184 €, die Filmdauer brauche ich nicht
12 Minuten
14 Minuten
den um 7:12 Uhr
73 Bücher
29 Sticker
564 Karten
16:33 Uhr
14:49 Uhr
15:33 Uhr
1 Huhn, 7 Kaninchen
4 Vierertische, 1 Sechsertisch
4 Dreiräder
einzeln
die Packung
Ja
20 Bücher
20 Karten
12 Karten
143 Karten
126 Karten
187 Murmeln
Der Preis für Erwachsene fehlt
nicht lösbar
6 Minuten
7 Laternen
21 Kinder
15:00 Uhr
Der Preis für Erwachsene fehlt
17 Minuten
36 Karten
12 €
1 Huhn, 8 Kaninchen
die Packung
48 Bücher
69 Sticker
8:30 Uhr
800 ct

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 7:30 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 7:30 + 1:00 = 8:30 Uhr
Ergebnis:
8:30 Uhr
●40
Rechne um: 8 € in ct.
Lösung zeigen
1. 1 € = 100 ct
2. 8 · 100 = 800 ct
Ergebnis:
800 ct

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

30 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 8 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 2.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 2.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Ergebnis:

Der Preis für Erwachsene fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 120 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 120 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●2
28 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 14 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 3.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
★3
Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 23 Kinder und 8 € je Karte.
2. 23 · 8 € = 184 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
184 €, die Filmdauer brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Tom ist um 6:48 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Tom auf den nächsten Bus 100?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 6:59 Uhr.
Von 6:48 bis 6:59 Uhr sind es 11 Minuten.

Der nächste fährt um 6:59 Uhr.
Von 6:48 bis 6:59 Uhr sind es 11 Minuten.

Ergebnis:

11 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Can ist um 6:51 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Can auf den nächsten Bus 248?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:03 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:03 Uhr.
2. Von 6:51 bis 7:03 Uhr sind es 12 Minuten.
Ergebnis:
12 Minuten
●5
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:51 Uhr, an 7:05 Uhr.
2. Von 6:51 bis 7:05 Uhr sind es 14 Minuten.
Ergebnis:
14 Minuten
★6
Der Unterricht beginnt um 7:45 Uhr. Welchen Bus 248 muss Lina spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:45 Uhr: 7:07, 7:17, 7:27, 7:37 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:37 Uhr an.
3. Er fährt um 7:12 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:12 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Noah hat 76 Murmeln. Jonas hat 9 Murmeln weniger als Noah. Wie viele Murmeln hat Jonas?

Schritt für Schritt

Jonas hat weniger: der Streifen von Jonas ist kürzer
76 − 9 = 67

Jonas hat weniger: der Streifen von Jonas ist kürzer
76 − 9 = 67

Ergebnis:

67 Murmeln

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Lina hat 43 Bücher. Tim hat 30 Bücher mehr als Lina. Wie viele Bücher hat Tim?
So fängst du an:
Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
Lösung zeigen
1. Tim hat mehr: der Streifen von Tim ist länger
2. 43 + 30 = 73
Ergebnis:
73 Bücher
●8
Tim hat 43 Sticker. Aylin hat 14 Sticker weniger als Tim. Wie viele Sticker hat Aylin?
Lösung zeigen
1. Aylin hat weniger: der Streifen von Aylin ist kürzer
2. 43 − 14 = 29
Ergebnis:
29 Sticker
★9
Aylin hat 429 Karten. Mia hat 135 Karten mehr als Aylin. Wie viele Karten hat Mia?
Lösung zeigen
1. Mia hat mehr: der Streifen von Mia ist länger
2. 429 + 135 = 564
Ergebnis:
564 Karten

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Mia braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 19 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 15:47 Uhr.
Noch 19 Minuten früher: 15:28 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 15:47 Uhr.
Noch 19 Minuten früher: 15:28 Uhr.

Ergebnis:

15:28 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Sofia braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 18 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 16:51 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 16:51 Uhr.
2. Noch 18 Minuten früher: 16:33 Uhr.
Ergebnis:
16:33 Uhr
●11
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Hanna braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 31 Minuten für den Weg. Wann muss Hanna spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 15:20 Uhr.
2. Noch 31 Minuten früher: 14:49 Uhr.
Ergebnis:
14:49 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Ben braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 32 Minuten für den Weg. Wann muss Ben spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 16:05 Uhr.
2. Noch 32 Minuten früher: 15:33 Uhr.
Ergebnis:
15:33 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa zählt Lea 9 Tische und 48 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3 Vierertische und 6 Sechsertische: 3 · 4 + 6 · 6 = 48

Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3 Vierertische und 6 Sechsertische: 3 · 4 + 6 · 6 = 48

Ergebnis:

3 Vierertische, 6 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof zählt Lea 8 Tiere und 30 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Huhn und 7 Kaninchen: 1 · 2 + 7 · 4 = 30
Ergebnis:
1 Huhn, 7 Kaninchen
●14
In der Mensa zählt Emma 5 Tische und 22 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 4 Vierertische und 1 Sechsertisch: 4 · 4 + 1 · 6 = 22
Ergebnis:
4 Vierertische, 1 Sechsertisch
★15
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 20 Fahrzeuge mit 44 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 10 Fahrräder und 10 Dreiräder ergeben 50 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 16 Fahrräder und 4 Dreiräder: 16 · 2 + 4 · 3 = 44
Ergebnis:
4 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €

Ergebnis:

0,80 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 6 Riegeln kostet 9,30 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Riegel braucht?
So fängst du an:
6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
2. Packung: 9,30 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
●17
Ein Bleistift kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 10 Bleistiften kostet 14,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,50 € = 15,00 €
2. Packung: 14,40 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Eine Fahrt kostet 2,80 €. Eine Monatskarte kostet 45,00 €. Aylin fährt im Monat 17-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 17 · 2,80 € = 47,60 €
2. Monatskarte: 45,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 4 Kästen liegen je 9 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?

Schritt für Schritt

4 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
4 · 9 = 36

4 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
4 · 9 = 36

Ergebnis:

36 Karten

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 5 Kästen liegen je 4 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
So fängst du an:
5 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 5 gleiche Teile zu je 4, gesucht das Ganze
2. 5 · 4 = 20
Ergebnis:
20 Bücher
●20
In 4 Kästen liegen je 5 Karten. Wie viele Karten sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 4 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
2. 4 · 5 = 20
Ergebnis:
20 Karten
★21
84 Karten werden gleichmäßig auf 7 Kästen verteilt. Wie viele Karten kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 84, 7 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 84 : 7 = 12
Ergebnis:
12 Karten

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Ben hat 88 Karten, Noah hat 63 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
88 + 63 = 151

Zwei Teile, gesucht das Ganze
88 + 63 = 151

Ergebnis:

151 Karten

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Jonas hat 53 Karten, Noah hat 90 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 53 + 90 = 143
Ergebnis:
143 Karten
●23
Tim hat 90 Karten, Lina hat 36 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 90 + 36 = 126
Ergebnis:
126 Karten
★24
Mia und Ela haben zusammen 374 Murmeln. Mia hat 187 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Ela?
Lösung zeigen
1. Ganzes 374, ein Teil 187, gesucht der andere Teil
2. 374 − 187 = 187
Ergebnis:
187 Murmeln

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
24 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 6 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●26
Ein Regal hat 4 Böden. Auf jedem stehen 26 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: 4 Böden, 26 Bücher je Boden.
2. Über die Seiten steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Emma ist um 6:45 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Emma auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:51 Uhr.
2. Von 6:45 bis 6:51 Uhr sind es 6 Minuten.
Ergebnis:
6 Minuten
●28
Ein Weg ist 12 m lang. Alle 2 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 12 : 2 = 6
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 6 + 1 = 7
Ergebnis:
7 Laternen
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Emma an 12. Stelle von vorn und an 10. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 11 Kinder, dann Emma, dahinter 9 Kinder.
2. 11 + 1 + 9 = 21
Ergebnis:
21 Kinder
●30
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Tom braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 24 Minuten für den Weg. Wann muss Tom spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 15:24 Uhr.
2. Noch 24 Minuten früher: 15:00 Uhr.
Ergebnis:
15:00 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
24 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 6 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Hanna ist um 6:54 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Hanna auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
Ergebnis:
17 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Ben hat 63 Karten. Lina hat 27 Karten weniger als Ben. Wie viele Karten hat Lina?
Lösung zeigen
Ergebnis:
36 Karten
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Lina kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Lina 11 € geschenkt und hat jetzt 16 €. Wie viel Geld hatte Lina am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
12 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof zählt Sofia 9 Tiere und 34 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1 Huhn, 8 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Tennisball kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 9,70 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Packung
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 8 Kästen liegen je 6 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
48 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Ela hat 32 Sticker, Noah hat 37 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
69 Sticker

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Der Beginn des Films fehlt
Der Preis für Erwachsene fehlt
184 €, die Filmdauer brauche ich nicht
12 Minuten
14 Minuten
den um 7:12 Uhr
73 Bücher
29 Sticker
564 Karten
16:33 Uhr
14:49 Uhr
15:33 Uhr
1 Huhn, 7 Kaninchen
4 Vierertische, 1 Sechsertisch
4 Dreiräder
einzeln
die Packung
Ja
20 Bücher
20 Karten
12 Karten
143 Karten
126 Karten
187 Murmeln
Der Preis für Erwachsene fehlt
nicht lösbar
6 Minuten
7 Laternen
21 Kinder
15:00 Uhr
Der Preis für Erwachsene fehlt
17 Minuten
36 Karten
12 €
1 Huhn, 8 Kaninchen
die Packung
48 Bücher
69 Sticker
8:30 Uhr
800 ct