Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:30 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 8:30 + 1:30 = 10:00 Uhr
Ergebnis:
10:00 Uhr
●40
Rechne um: 7 h in min.
Lösung zeigen
1. 1 h = 60 min
2. 7 · 60 = 420 min
Ergebnis:
420 min

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 37 Tore geschossen. Zum Finale kamen 364 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Ergebnis:

Die Tore im Finale fehlen

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 20 Tore geschossen. Zum Finale kamen 251 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 9 Spiele.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 9 Spiele.
2. 15 − 9 = 6
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●2
30 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 34 Tore geschossen. Zum Finale kamen 233 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Noah ist um 6:44 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Noah auf den nächsten Bus M29?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 6:57 Uhr.
Von 6:44 bis 6:57 Uhr sind es 13 Minuten.

Der nächste fährt um 6:57 Uhr.
Von 6:44 bis 6:57 Uhr sind es 13 Minuten.

Ergebnis:

13 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Ben ist um 6:55 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Ben auf den nächsten Bus X34?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
2. Von 6:55 bis 7:01 Uhr sind es 6 Minuten.
Ergebnis:
6 Minuten
●5
Der Unterricht beginnt um 7:34 Uhr. Welchen Bus M29 muss Lea spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:34 Uhr: 7:08, 7:23 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:23 Uhr an.
3. Er fährt um 6:57 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 6:57 Uhr
★6
Der Unterricht beginnt um 7:50 Uhr. Welchen Bus 100 muss Sofia spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:50 Uhr: 6:56, 7:11, 7:26, 7:41 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:41 Uhr an.
3. Er fährt um 7:28 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:28 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Jonas hat 55 Bücher. Lina hat 15 Bücher mehr als Jonas. Wie viele Bücher hat Lina?

Schritt für Schritt

Lina hat mehr: der Streifen von Lina ist länger
55 + 15 = 70

Lina hat mehr: der Streifen von Lina ist länger
55 + 15 = 70

Ergebnis:

70 Bücher

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Ben hat 64 Sticker. Noah hat 9 Sticker mehr als Ben. Wie viele Sticker hat Noah?
So fängst du an:
Noah hat mehr: der Streifen von Noah ist länger
Lösung zeigen
1. Noah hat mehr: der Streifen von Noah ist länger
2. 64 + 9 = 73
Ergebnis:
73 Sticker
●8
Mia hat 51 Bücher. Aylin hat 17 Bücher weniger als Mia. Wie viele Bücher hat Aylin?
Lösung zeigen
1. Aylin hat weniger: der Streifen von Aylin ist kürzer
2. 51 − 17 = 34
Ergebnis:
34 Bücher
★9
Aylin hat 497 Karten. Noah hat 135 Karten weniger als Aylin. Wie viele Karten hat Noah?
Lösung zeigen
1. Noah hat weniger: der Streifen von Noah ist kürzer
2. 497 − 135 = 362
Ergebnis:
362 Karten

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Lina kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Lina 6 € geschenkt und hat jetzt 23 €. Wie viel Geld hatte Lina am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 23 € − 6 € = 17 €
Dann den Kauf: 17 € + 10 € = 27 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 23 € − 6 € = 17 €
Dann den Kauf: 17 € + 10 € = 27 €

Ergebnis:

27 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Ben kauft ein Buch für 11 €. Danach bekommt Ben 10 € geschenkt und hat jetzt 15 €. Wie viel Geld hatte Ben am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 15 € − 10 € = 5 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 15 € − 10 € = 5 €
2. Dann den Kauf: 5 € + 11 € = 16 €
Ergebnis:
16 €
●11
Elias kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Elias 10 € geschenkt und hat jetzt 33 €. Wie viel Geld hatte Elias am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 33 € − 10 € = 23 €
2. Dann den Kauf: 23 € + 15 € = 38 €
Ergebnis:
38 €
★12
Elias verschenkt 3 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Elias noch 4 Karten dazu. Jetzt sind es 48. Wie viele Karten waren es am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts: 48 − 4 = 44
2. Verdoppeln rückgängig: 44 : 2 = 22
3. Verschenken rückgängig: 22 + 3 = 25
Ergebnis:
25 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa zählt Paul 9 Tische und 40 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
7 Vierertische und 2 Sechsertische: 7 · 4 + 2 · 6 = 40

Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
7 Vierertische und 2 Sechsertische: 7 · 4 + 2 · 6 = 40

Ergebnis:

7 Vierertische, 2 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 10 Tiere mit 36 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 2 Hühner und 8 Kaninchen: 2 · 2 + 8 · 4 = 36
Ergebnis:
8 Kaninchen
●14
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 6 Tische mit 32 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 2 Vierertische und 4 Sechsertische: 2 · 4 + 4 · 6 = 32
Ergebnis:
4 Sechsertische
★15
Auf einem Hof zählt Zeynep 17 Tiere und 36 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 9 Hühner und 8 Kaninchen ergeben 50 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 16 Hühner und 1 Kaninchen: 16 · 2 + 1 · 4 = 36
Ergebnis:
16 Hühner, 1 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Bleistift kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 6,30 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
Packung: 6,30 €
Einzeln ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
Packung: 6,30 €
Einzeln ist günstiger.

Ergebnis:

einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
2. Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €
Ergebnis:
0,80 €
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
Ergebnis:
1,00 €
★18
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 7 Kästen liegen je 6 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?

Schritt für Schritt

7 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
7 · 6 = 42

7 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
7 · 6 = 42

Ergebnis:

42 Murmeln

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 3 Kästen liegen je 9 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
So fängst du an:
3 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 3 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
2. 3 · 9 = 27
Ergebnis:
27 Sticker
●20
In 3 Kästen liegen je 7 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 3 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
2. 3 · 7 = 21
Ergebnis:
21 Sticker
★21
296 Karten werden gleichmäßig auf 8 Kästen verteilt. Wie viele Karten kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 296, 8 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 296 : 8 = 37
Ergebnis:
37 Karten

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Jonas hat 72 Bücher, Ela hat 54 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
72 + 54 = 126

Zwei Teile, gesucht das Ganze
72 + 54 = 126

Ergebnis:

126 Bücher

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Tim hat 29 Karten, Ela hat 77 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 29 + 77 = 106
Ergebnis:
106 Karten
●23
Mia hat 76 Bücher, Tim hat 71 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 76 + 71 = 147
Ergebnis:
147 Bücher
★24
Mia und Ben haben zusammen 335 Karten. Mia hat 125 Karten. Wie viele Karten hat Ben?
Lösung zeigen
1. Ganzes 335, ein Teil 125, gesucht der andere Teil
2. 335 − 125 = 210
Ergebnis:
210 Karten

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
29 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 13 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 29 Kinder und 6 €.
2. 29 · 6 € = 174 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
174 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●26
In der Klasse sind 25 Kinder. Sie spielen in 5 gleich großen Teams, wer übrig bleibt, pfeift. Wie viele Kinder pfeifen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. 25 : 5 = 5
2. 0 Kinder pfeifen.
Ergebnis:
lösbar, 0
●27
Jonas ist um 6:59 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Jonas auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
2. Von 6:59 bis 7:01 Uhr sind es 2 Minuten.
Ergebnis:
2 Minuten
●28
Entlang eines Weges stehen 13 Laternen im Abstand von 3 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 13 Laternen haben 12 Abstände dazwischen.
2. 12 · 3 m = 36 m
Ergebnis:
36 m
●29
Im Kino sitzt Mia auf Platz 7 von links. Zwischen Mia und Noah sitzen 3 Kinder, Noah sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Noah?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 7 ist Mia, dann 3 Plätze dazwischen.
2. 7 + 3 + 1 = 11
Ergebnis:
Platz 11
●30
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Milan braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 19 Minuten für den Weg. Wann muss Milan spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:16 Uhr.
2. Noch 19 Minuten früher: 14:57 Uhr.
Ergebnis:
14:57 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 24 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 105 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
Ergebnis:
21 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Jonas hat 59 Karten. Mia hat 30 Karten mehr als Jonas. Wie viele Karten hat Mia?
Lösung zeigen
Ergebnis:
89 Karten
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Aylin kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Aylin 10 € geschenkt und hat jetzt 21 €. Wie viel Geld hatte Aylin am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
18 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita zählt Jonas 7 Fahrzeuge und 20 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1 Fahrrad, 6 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Eine Saftflasche kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 5,10 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Packung
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 6 Kästen liegen je 5 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
30 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Tim hat 23 Murmeln, Mia hat 70 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
93 Murmeln

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Der Preis für Erwachsene fehlt
Die Tore im Finale fehlen
6 Minuten
den um 6:57 Uhr
den um 7:28 Uhr
73 Sticker
34 Bücher
362 Karten
16 €
38 €
25 Karten
8 Kaninchen
4 Sechsertische
16 Hühner, 1 Kaninchen
0,80 €
1,00 €
1,67 €
27 Sticker
21 Sticker
37 Karten
106 Karten
147 Bücher
210 Karten
174 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
lösbar, 0
2 Minuten
36 m
Platz 11
14:57 Uhr
Der Beginn des Films fehlt
21 Minuten
89 Karten
18 €
1 Fahrrad, 6 Dreiräder
die Packung
30 Bücher
93 Murmeln
10:00 Uhr
420 min

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:30 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 8:30 + 1:30 = 10:00 Uhr
Ergebnis:
10:00 Uhr
●40
Rechne um: 7 h in min.
Lösung zeigen
1. 1 h = 60 min
2. 7 · 60 = 420 min
Ergebnis:
420 min

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 37 Tore geschossen. Zum Finale kamen 364 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Ergebnis:

Die Tore im Finale fehlen

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 20 Tore geschossen. Zum Finale kamen 251 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 9 Spiele.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 9 Spiele.
2. 15 − 9 = 6
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●2
30 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 34 Tore geschossen. Zum Finale kamen 233 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Noah ist um 6:44 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Noah auf den nächsten Bus M29?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 6:57 Uhr.
Von 6:44 bis 6:57 Uhr sind es 13 Minuten.

Der nächste fährt um 6:57 Uhr.
Von 6:44 bis 6:57 Uhr sind es 13 Minuten.

Ergebnis:

13 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Ben ist um 6:55 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Ben auf den nächsten Bus X34?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
2. Von 6:55 bis 7:01 Uhr sind es 6 Minuten.
Ergebnis:
6 Minuten
●5
Der Unterricht beginnt um 7:34 Uhr. Welchen Bus M29 muss Lea spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:34 Uhr: 7:08, 7:23 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:23 Uhr an.
3. Er fährt um 6:57 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 6:57 Uhr
★6
Der Unterricht beginnt um 7:50 Uhr. Welchen Bus 100 muss Sofia spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:50 Uhr: 6:56, 7:11, 7:26, 7:41 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:41 Uhr an.
3. Er fährt um 7:28 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:28 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Jonas hat 55 Bücher. Lina hat 15 Bücher mehr als Jonas. Wie viele Bücher hat Lina?

Schritt für Schritt

Lina hat mehr: der Streifen von Lina ist länger
55 + 15 = 70

Lina hat mehr: der Streifen von Lina ist länger
55 + 15 = 70

Ergebnis:

70 Bücher

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Ben hat 64 Sticker. Noah hat 9 Sticker mehr als Ben. Wie viele Sticker hat Noah?
So fängst du an:
Noah hat mehr: der Streifen von Noah ist länger
Lösung zeigen
1. Noah hat mehr: der Streifen von Noah ist länger
2. 64 + 9 = 73
Ergebnis:
73 Sticker
●8
Mia hat 51 Bücher. Aylin hat 17 Bücher weniger als Mia. Wie viele Bücher hat Aylin?
Lösung zeigen
1. Aylin hat weniger: der Streifen von Aylin ist kürzer
2. 51 − 17 = 34
Ergebnis:
34 Bücher
★9
Aylin hat 497 Karten. Noah hat 135 Karten weniger als Aylin. Wie viele Karten hat Noah?
Lösung zeigen
1. Noah hat weniger: der Streifen von Noah ist kürzer
2. 497 − 135 = 362
Ergebnis:
362 Karten

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Lina kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Lina 6 € geschenkt und hat jetzt 23 €. Wie viel Geld hatte Lina am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 23 € − 6 € = 17 €
Dann den Kauf: 17 € + 10 € = 27 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 23 € − 6 € = 17 €
Dann den Kauf: 17 € + 10 € = 27 €

Ergebnis:

27 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Ben kauft ein Buch für 11 €. Danach bekommt Ben 10 € geschenkt und hat jetzt 15 €. Wie viel Geld hatte Ben am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 15 € − 10 € = 5 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 15 € − 10 € = 5 €
2. Dann den Kauf: 5 € + 11 € = 16 €
Ergebnis:
16 €
●11
Elias kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Elias 10 € geschenkt und hat jetzt 33 €. Wie viel Geld hatte Elias am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 33 € − 10 € = 23 €
2. Dann den Kauf: 23 € + 15 € = 38 €
Ergebnis:
38 €
★12
Elias verschenkt 3 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Elias noch 4 Karten dazu. Jetzt sind es 48. Wie viele Karten waren es am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts: 48 − 4 = 44
2. Verdoppeln rückgängig: 44 : 2 = 22
3. Verschenken rückgängig: 22 + 3 = 25
Ergebnis:
25 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa zählt Paul 9 Tische und 40 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
7 Vierertische und 2 Sechsertische: 7 · 4 + 2 · 6 = 40

Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
7 Vierertische und 2 Sechsertische: 7 · 4 + 2 · 6 = 40

Ergebnis:

7 Vierertische, 2 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 10 Tiere mit 36 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 2 Hühner und 8 Kaninchen: 2 · 2 + 8 · 4 = 36
Ergebnis:
8 Kaninchen
●14
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 6 Tische mit 32 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 2 Vierertische und 4 Sechsertische: 2 · 4 + 4 · 6 = 32
Ergebnis:
4 Sechsertische
★15
Auf einem Hof zählt Zeynep 17 Tiere und 36 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 9 Hühner und 8 Kaninchen ergeben 50 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 16 Hühner und 1 Kaninchen: 16 · 2 + 1 · 4 = 36
Ergebnis:
16 Hühner, 1 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Bleistift kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 6,30 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
Packung: 6,30 €
Einzeln ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
Packung: 6,30 €
Einzeln ist günstiger.

Ergebnis:

einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
2. Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €
Ergebnis:
0,80 €
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
Ergebnis:
1,00 €
★18
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 7 Kästen liegen je 6 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?

Schritt für Schritt

7 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
7 · 6 = 42

7 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
7 · 6 = 42

Ergebnis:

42 Murmeln

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 3 Kästen liegen je 9 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
So fängst du an:
3 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 3 gleiche Teile zu je 9, gesucht das Ganze
2. 3 · 9 = 27
Ergebnis:
27 Sticker
●20
In 3 Kästen liegen je 7 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 3 gleiche Teile zu je 7, gesucht das Ganze
2. 3 · 7 = 21
Ergebnis:
21 Sticker
★21
296 Karten werden gleichmäßig auf 8 Kästen verteilt. Wie viele Karten kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 296, 8 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 296 : 8 = 37
Ergebnis:
37 Karten

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Jonas hat 72 Bücher, Ela hat 54 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
72 + 54 = 126

Zwei Teile, gesucht das Ganze
72 + 54 = 126

Ergebnis:

126 Bücher

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Tim hat 29 Karten, Ela hat 77 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 29 + 77 = 106
Ergebnis:
106 Karten
●23
Mia hat 76 Bücher, Tim hat 71 Bücher. Wie viele Bücher haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 76 + 71 = 147
Ergebnis:
147 Bücher
★24
Mia und Ben haben zusammen 335 Karten. Mia hat 125 Karten. Wie viele Karten hat Ben?
Lösung zeigen
1. Ganzes 335, ein Teil 125, gesucht der andere Teil
2. 335 − 125 = 210
Ergebnis:
210 Karten

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
29 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 13 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 29 Kinder und 6 €.
2. 29 · 6 € = 174 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
174 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●26
In der Klasse sind 25 Kinder. Sie spielen in 5 gleich großen Teams, wer übrig bleibt, pfeift. Wie viele Kinder pfeifen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. 25 : 5 = 5
2. 0 Kinder pfeifen.
Ergebnis:
lösbar, 0
●27
Jonas ist um 6:59 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Jonas auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
2. Von 6:59 bis 7:01 Uhr sind es 2 Minuten.
Ergebnis:
2 Minuten
●28
Entlang eines Weges stehen 13 Laternen im Abstand von 3 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 13 Laternen haben 12 Abstände dazwischen.
2. 12 · 3 m = 36 m
Ergebnis:
36 m
●29
Im Kino sitzt Mia auf Platz 7 von links. Zwischen Mia und Noah sitzen 3 Kinder, Noah sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Noah?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 7 ist Mia, dann 3 Plätze dazwischen.
2. 7 + 3 + 1 = 11
Ergebnis:
Platz 11
●30
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Milan braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 19 Minuten für den Weg. Wann muss Milan spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:16 Uhr.
2. Noch 19 Minuten früher: 14:57 Uhr.
Ergebnis:
14:57 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 24 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 105 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
Ergebnis:
21 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Jonas hat 59 Karten. Mia hat 30 Karten mehr als Jonas. Wie viele Karten hat Mia?
Lösung zeigen
Ergebnis:
89 Karten
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Aylin kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Aylin 10 € geschenkt und hat jetzt 21 €. Wie viel Geld hatte Aylin am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
18 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita zählt Jonas 7 Fahrzeuge und 20 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1 Fahrrad, 6 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Eine Saftflasche kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 5,10 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Packung
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 6 Kästen liegen je 5 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
30 Bücher
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Tim hat 23 Murmeln, Mia hat 70 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
93 Murmeln

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Der Preis für Erwachsene fehlt
Die Tore im Finale fehlen
6 Minuten
den um 6:57 Uhr
den um 7:28 Uhr
73 Sticker
34 Bücher
362 Karten
16 €
38 €
25 Karten
8 Kaninchen
4 Sechsertische
16 Hühner, 1 Kaninchen
0,80 €
1,00 €
1,67 €
27 Sticker
21 Sticker
37 Karten
106 Karten
147 Bücher
210 Karten
174 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
lösbar, 0
2 Minuten
36 m
Platz 11
14:57 Uhr
Der Beginn des Films fehlt
21 Minuten
89 Karten
18 €
1 Fahrrad, 6 Dreiräder
die Packung
30 Bücher
93 Murmeln
10:00 Uhr
420 min