Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 10:45 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 10:45 + 1:30 = 12:15 Uhr
Ergebnis:
12:15 Uhr
●40
Rechne um: 8 m in cm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 100 cm
2. 8 · 100 = 800 cm
Ergebnis:
800 cm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 110 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 110 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Ergebnis:

Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 37 Tore geschossen. Zum Finale kamen 260 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 7 Spiele.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 7 Spiele.
2. 15 − 7 = 8
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
8 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 33 Tore geschossen. Zum Finale kamen 256 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 34 Tore geschossen. Zum Finale kamen 363 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 12 Spiele.
2. 15 − 12 = 3
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Paul ist um 6:47 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Paul auf den nächsten Bus 100?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 6:49 Uhr.
Von 6:47 bis 6:49 Uhr sind es 2 Minuten.

Der nächste fährt um 6:49 Uhr.
Von 6:47 bis 6:49 Uhr sind es 2 Minuten.

Ergebnis:

2 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:26 Uhr. Welchen Bus 248 muss Elias spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:26 Uhr: 6:57, 7:12 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:26 Uhr: 6:57, 7:12 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:12 Uhr an.
3. Er fährt um 6:56 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 6:56 Uhr
●5
Lea ist um 6:49 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lea auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:00 Uhr.
2. Von 6:49 bis 7:00 Uhr sind es 11 Minuten.
Ergebnis:
11 Minuten
★6
Paul ist um 6:50 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Paul auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:57 Uhr.
2. Von 6:50 bis 6:57 Uhr sind es 7 Minuten.
Ergebnis:
7 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Mia hat 55 Bücher. Noah hat 12 Bücher mehr als Mia. Wie viele Bücher hat Noah?

Schritt für Schritt

Noah hat mehr: der Streifen von Noah ist länger
55 + 12 = 67

Noah hat mehr: der Streifen von Noah ist länger
55 + 12 = 67

Ergebnis:

67 Bücher

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Tim hat 42 Murmeln. Aylin hat 21 Murmeln weniger als Tim. Wie viele Murmeln hat Aylin?
So fängst du an:
Aylin hat weniger: der Streifen von Aylin ist kürzer
Lösung zeigen
1. Aylin hat weniger: der Streifen von Aylin ist kürzer
2. 42 − 21 = 21
Ergebnis:
21 Murmeln
●8
Tim hat 72 Bücher. Ben hat 18 Bücher weniger als Tim. Wie viele Bücher hat Ben?
Lösung zeigen
1. Ben hat weniger: der Streifen von Ben ist kürzer
2. 72 − 18 = 54
Ergebnis:
54 Bücher
★9
Lina hat 408 Sticker. Ela hat 143 Sticker mehr als Lina. Wie viele Sticker hat Ela?
Lösung zeigen
1. Ela hat mehr: der Streifen von Ela ist länger
2. 408 + 143 = 551
Ergebnis:
551 Sticker

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Tom kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Tom 7 € geschenkt und hat jetzt 31 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 31 € − 7 € = 24 €
Dann den Kauf: 24 € + 18 € = 42 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 31 € − 7 € = 24 €
Dann den Kauf: 24 € + 18 € = 42 €

Ergebnis:

42 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Ben kauft ein Buch für 16 €. Danach bekommt Ben 12 € geschenkt und hat jetzt 19 €. Wie viel Geld hatte Ben am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 19 € − 12 € = 7 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 19 € − 12 € = 7 €
2. Dann den Kauf: 7 € + 16 € = 23 €
Ergebnis:
23 €
●11
Elias kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Elias 6 € geschenkt und hat jetzt 21 €. Wie viel Geld hatte Elias am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 21 € − 6 € = 15 €
2. Dann den Kauf: 15 € + 10 € = 25 €
Ergebnis:
25 €
★12
Jonas kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Jonas 11 € geschenkt und hat jetzt 31 €. Wie viel Geld hatte Jonas am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 31 € − 11 € = 20 €
2. Dann den Kauf: 20 € + 8 € = 28 €
Ergebnis:
28 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 9 Tische mit 52 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
1 Vierertisch und 8 Sechsertische: 1 · 4 + 8 · 6 = 52

Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
1 Vierertisch und 8 Sechsertische: 1 · 4 + 8 · 6 = 52

Ergebnis:

8 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 9 Fahrzeuge mit 25 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 2 Fahrräder und 7 Dreiräder: 2 · 2 + 7 · 3 = 25
Ergebnis:
7 Dreiräder
●14
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 6 Fahrzeuge mit 15 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 15 Räder.
2. Das passt genau.
3. 3 Fahrräder und 3 Dreiräder: 3 · 2 + 3 · 3 = 15
Ergebnis:
3 Dreiräder
★15
Im Hof der Kita zählt Elias 10 Fahrzeuge und 28 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 2 Fahrräder und 8 Dreiräder: 2 · 2 + 8 · 3 = 28
Ergebnis:
2 Fahrräder, 8 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

1,33 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Eine Saftflasche kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 15,60 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
So fängst du an:
6 einzeln: 6 · 2,50 € = 15,00 €
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 2,50 € = 15,00 €
2. Packung: 15,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €
★18
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
0,67 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 4 Kästen liegen je 6 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?

Schritt für Schritt

4 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
4 · 6 = 24

4 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
4 · 6 = 24

Ergebnis:

24 Sticker

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 3 Kästen liegen je 5 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
So fängst du an:
3 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 3 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
2. 3 · 5 = 15
Ergebnis:
15 Sticker
●20
In 3 Kästen liegen je 6 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 3 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
2. 3 · 6 = 18
Ergebnis:
18 Bücher
★21
120 Sticker werden gleichmäßig auf 10 Kästen verteilt. Wie viele Sticker kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 120, 10 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 120 : 10 = 12
Ergebnis:
12 Sticker

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Noah hat 38 Sticker, Jonas hat 72 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
38 + 72 = 110

Zwei Teile, gesucht das Ganze
38 + 72 = 110

Ergebnis:

110 Sticker

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Aylin hat 75 Karten, Lina hat 37 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 75 + 37 = 112
Ergebnis:
112 Karten
●23
Ben hat 57 Karten, Jonas hat 90 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 57 + 90 = 147
Ergebnis:
147 Karten
★24
Noah und Aylin haben zusammen 421 Murmeln. Noah hat 179 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Aylin?
Lösung zeigen
1. Ganzes 421, ein Teil 179, gesucht der andere Teil
2. 421 − 179 = 242
Ergebnis:
242 Murmeln

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 14 Tore geschossen. Zum Finale kamen 206 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●26
In der Klasse sind 23 Kinder. Sie spielen in 5 gleich großen Teams, wer übrig bleibt, pfeift. Wie viele Kinder pfeifen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. 23 : 5 = 4 Rest 3
2. 3 Kinder pfeifen.
Ergebnis:
lösbar, 3
●27
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:43 Uhr, an 7:06 Uhr.
2. Von 6:43 bis 7:06 Uhr sind es 23 Minuten.
Ergebnis:
23 Minuten
●28
Ein Zaun ist 24 m lang. Alle 3 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 24 : 3 = 8
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 8 + 1 = 9
Ergebnis:
9 Zaunpfähle
●29
Im Kino sitzt Tom auf Platz 9 von links. Zwischen Tom und Zeynep sitzen 1 Kinder, Zeynep sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Zeynep?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 9 ist Tom, dann 1 Plätze dazwischen.
2. 9 + 1 + 1 = 11
Ergebnis:
Platz 11
●30
Sofia kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Sofia 6 € geschenkt und hat jetzt 25 €. Wie viel Geld hatte Sofia am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 25 € − 6 € = 19 €
2. Dann den Kauf: 19 € + 12 € = 31 €
Ergebnis:
31 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
130 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Jonas ist um 6:47 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Jonas auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
Ergebnis:
13 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Mia hat 63 Murmeln. Jonas hat 10 Murmeln weniger als Mia. Wie viele Murmeln hat Jonas?
Lösung zeigen
Ergebnis:
53 Murmeln
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Zeynep kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Zeynep 11 € geschenkt und hat jetzt 30 €. Wie viel Geld hatte Zeynep am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
36 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof zählt Aylin 6 Tiere und 20 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 Hühner, 4 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,67 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 5 Kästen liegen je 5 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
25 Murmeln
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Mia hat 67 Murmeln, Ela hat 83 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
150 Murmeln

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

8 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Die Tore im Finale fehlen
3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
den um 6:56 Uhr
11 Minuten
7 Minuten
21 Murmeln
54 Bücher
551 Sticker
23 €
25 €
28 €
7 Dreiräder
3 Dreiräder
2 Fahrräder, 8 Dreiräder
einzeln
1,67 €
0,67 €
15 Sticker
18 Bücher
12 Sticker
112 Karten
147 Karten
242 Murmeln
Die Tore im Finale fehlen
lösbar, 3
23 Minuten
9 Zaunpfähle
Platz 11
31 €
130 €, die Filmdauer brauche ich nicht
13 Minuten
53 Murmeln
36 €
2 Hühner, 4 Kaninchen
1,67 €
25 Murmeln
150 Murmeln
12:15 Uhr
800 cm

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 10:45 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 10:45 + 1:30 = 12:15 Uhr
Ergebnis:
12:15 Uhr
●40
Rechne um: 8 m in cm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 100 cm
2. 8 · 100 = 800 cm
Ergebnis:
800 cm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 110 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 110 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Ergebnis:

Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 37 Tore geschossen. Zum Finale kamen 260 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 7 Spiele.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 7 Spiele.
2. 15 − 7 = 8
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
8 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 33 Tore geschossen. Zum Finale kamen 256 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 34 Tore geschossen. Zum Finale kamen 363 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 12 Spiele.
2. 15 − 12 = 3
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Paul ist um 6:47 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Paul auf den nächsten Bus 100?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 6:49 Uhr.
Von 6:47 bis 6:49 Uhr sind es 2 Minuten.

Der nächste fährt um 6:49 Uhr.
Von 6:47 bis 6:49 Uhr sind es 2 Minuten.

Ergebnis:

2 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:26 Uhr. Welchen Bus 248 muss Elias spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:26 Uhr: 6:57, 7:12 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:26 Uhr: 6:57, 7:12 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:12 Uhr an.
3. Er fährt um 6:56 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 6:56 Uhr
●5
Lea ist um 6:49 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lea auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:00 Uhr.
2. Von 6:49 bis 7:00 Uhr sind es 11 Minuten.
Ergebnis:
11 Minuten
★6
Paul ist um 6:50 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Paul auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:57 Uhr.
2. Von 6:50 bis 6:57 Uhr sind es 7 Minuten.
Ergebnis:
7 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: mehr und weniger

Mia hat 55 Bücher. Noah hat 12 Bücher mehr als Mia. Wie viele Bücher hat Noah?

Schritt für Schritt

Noah hat mehr: der Streifen von Noah ist länger
55 + 12 = 67

Noah hat mehr: der Streifen von Noah ist länger
55 + 12 = 67

Ergebnis:

67 Bücher

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Tim hat 42 Murmeln. Aylin hat 21 Murmeln weniger als Tim. Wie viele Murmeln hat Aylin?
So fängst du an:
Aylin hat weniger: der Streifen von Aylin ist kürzer
Lösung zeigen
1. Aylin hat weniger: der Streifen von Aylin ist kürzer
2. 42 − 21 = 21
Ergebnis:
21 Murmeln
●8
Tim hat 72 Bücher. Ben hat 18 Bücher weniger als Tim. Wie viele Bücher hat Ben?
Lösung zeigen
1. Ben hat weniger: der Streifen von Ben ist kürzer
2. 72 − 18 = 54
Ergebnis:
54 Bücher
★9
Lina hat 408 Sticker. Ela hat 143 Sticker mehr als Lina. Wie viele Sticker hat Ela?
Lösung zeigen
1. Ela hat mehr: der Streifen von Ela ist länger
2. 408 + 143 = 551
Ergebnis:
551 Sticker

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Tom kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Tom 7 € geschenkt und hat jetzt 31 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 31 € − 7 € = 24 €
Dann den Kauf: 24 € + 18 € = 42 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 31 € − 7 € = 24 €
Dann den Kauf: 24 € + 18 € = 42 €

Ergebnis:

42 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Ben kauft ein Buch für 16 €. Danach bekommt Ben 12 € geschenkt und hat jetzt 19 €. Wie viel Geld hatte Ben am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 19 € − 12 € = 7 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 19 € − 12 € = 7 €
2. Dann den Kauf: 7 € + 16 € = 23 €
Ergebnis:
23 €
●11
Elias kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Elias 6 € geschenkt und hat jetzt 21 €. Wie viel Geld hatte Elias am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 21 € − 6 € = 15 €
2. Dann den Kauf: 15 € + 10 € = 25 €
Ergebnis:
25 €
★12
Jonas kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Jonas 11 € geschenkt und hat jetzt 31 €. Wie viel Geld hatte Jonas am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 31 € − 11 € = 20 €
2. Dann den Kauf: 20 € + 8 € = 28 €
Ergebnis:
28 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 9 Tische mit 52 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
1 Vierertisch und 8 Sechsertische: 1 · 4 + 8 · 6 = 52

Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
1 Vierertisch und 8 Sechsertische: 1 · 4 + 8 · 6 = 52

Ergebnis:

8 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 9 Fahrzeuge mit 25 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 2 Fahrräder und 7 Dreiräder: 2 · 2 + 7 · 3 = 25
Ergebnis:
7 Dreiräder
●14
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 6 Fahrzeuge mit 15 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 15 Räder.
2. Das passt genau.
3. 3 Fahrräder und 3 Dreiräder: 3 · 2 + 3 · 3 = 15
Ergebnis:
3 Dreiräder
★15
Im Hof der Kita zählt Elias 10 Fahrzeuge und 28 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 2 Fahrräder und 8 Dreiräder: 2 · 2 + 8 · 3 = 28
Ergebnis:
2 Fahrräder, 8 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

1,33 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Eine Saftflasche kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 15,60 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
So fängst du an:
6 einzeln: 6 · 2,50 € = 15,00 €
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 2,50 € = 15,00 €
2. Packung: 15,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €
★18
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
0,67 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: gleiche Teile

In 4 Kästen liegen je 6 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?

Schritt für Schritt

4 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
4 · 6 = 24

4 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
4 · 6 = 24

Ergebnis:

24 Sticker

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In 3 Kästen liegen je 5 Sticker. Wie viele Sticker sind es zusammen?
So fängst du an:
3 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. 3 gleiche Teile zu je 5, gesucht das Ganze
2. 3 · 5 = 15
Ergebnis:
15 Sticker
●20
In 3 Kästen liegen je 6 Bücher. Wie viele Bücher sind es zusammen?
Lösung zeigen
1. 3 gleiche Teile zu je 6, gesucht das Ganze
2. 3 · 6 = 18
Ergebnis:
18 Bücher
★21
120 Sticker werden gleichmäßig auf 10 Kästen verteilt. Wie viele Sticker kommen in einen Kasten?
Lösung zeigen
1. Ganzes 120, 10 gleiche Teile, gesucht ein Teil
2. 120 : 10 = 12
Ergebnis:
12 Sticker

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielTextaufgabe mit Streifenmodell: Teile und Ganzes

Noah hat 38 Sticker, Jonas hat 72 Sticker. Wie viele Sticker haben beide zusammen?

Schritt für Schritt

Zwei Teile, gesucht das Ganze
38 + 72 = 110

Zwei Teile, gesucht das Ganze
38 + 72 = 110

Ergebnis:

110 Sticker

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Aylin hat 75 Karten, Lina hat 37 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
So fängst du an:
Zwei Teile, gesucht das Ganze
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 75 + 37 = 112
Ergebnis:
112 Karten
●23
Ben hat 57 Karten, Jonas hat 90 Karten. Wie viele Karten haben beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Zwei Teile, gesucht das Ganze
2. 57 + 90 = 147
Ergebnis:
147 Karten
★24
Noah und Aylin haben zusammen 421 Murmeln. Noah hat 179 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Aylin?
Lösung zeigen
1. Ganzes 421, ein Teil 179, gesucht der andere Teil
2. 421 − 179 = 242
Ergebnis:
242 Murmeln

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 14 Tore geschossen. Zum Finale kamen 206 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●26
In der Klasse sind 23 Kinder. Sie spielen in 5 gleich großen Teams, wer übrig bleibt, pfeift. Wie viele Kinder pfeifen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. 23 : 5 = 4 Rest 3
2. 3 Kinder pfeifen.
Ergebnis:
lösbar, 3
●27
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:43 Uhr, an 7:06 Uhr.
2. Von 6:43 bis 7:06 Uhr sind es 23 Minuten.
Ergebnis:
23 Minuten
●28
Ein Zaun ist 24 m lang. Alle 3 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 24 : 3 = 8
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 8 + 1 = 9
Ergebnis:
9 Zaunpfähle
●29
Im Kino sitzt Tom auf Platz 9 von links. Zwischen Tom und Zeynep sitzen 1 Kinder, Zeynep sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Zeynep?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 9 ist Tom, dann 1 Plätze dazwischen.
2. 9 + 1 + 1 = 11
Ergebnis:
Platz 11
●30
Sofia kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Sofia 6 € geschenkt und hat jetzt 25 €. Wie viel Geld hatte Sofia am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 25 € − 6 € = 19 €
2. Dann den Kauf: 19 € + 12 € = 31 €
Ergebnis:
31 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
130 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Jonas ist um 6:47 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Jonas auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
Ergebnis:
13 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Mia hat 63 Murmeln. Jonas hat 10 Murmeln weniger als Mia. Wie viele Murmeln hat Jonas?
Lösung zeigen
Ergebnis:
53 Murmeln
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Zeynep kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Zeynep 11 € geschenkt und hat jetzt 30 €. Wie viel Geld hatte Zeynep am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
36 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof zählt Aylin 6 Tiere und 20 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 Hühner, 4 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,67 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In 5 Kästen liegen je 5 Murmeln. Wie viele Murmeln sind es zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
25 Murmeln
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Mia hat 67 Murmeln, Ela hat 83 Murmeln. Wie viele Murmeln haben beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
150 Murmeln

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

8 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Die Tore im Finale fehlen
3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
den um 6:56 Uhr
11 Minuten
7 Minuten
21 Murmeln
54 Bücher
551 Sticker
23 €
25 €
28 €
7 Dreiräder
3 Dreiräder
2 Fahrräder, 8 Dreiräder
einzeln
1,67 €
0,67 €
15 Sticker
18 Bücher
12 Sticker
112 Karten
147 Karten
242 Murmeln
Die Tore im Finale fehlen
lösbar, 3
23 Minuten
9 Zaunpfähle
Platz 11
31 €
130 €, die Filmdauer brauche ich nicht
13 Minuten
53 Murmeln
36 €
2 Hühner, 4 Kaninchen
1,67 €
25 Murmeln
150 Murmeln
12:15 Uhr
800 cm