Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

●39
Rechne um: 12 cm in mm.
Lösung zeigen
1. 1 cm = 10 mm
2. 12 · 10 = 120 mm
Ergebnis:
120 mm
●40
Beim Laufen zur Schule zählt das Handy in 3 Minuten 330 Schritte. Wie viele Schritte sind es nach 10 Minuten?
Lösung zeigen
1. Minuten Schritte
2. 3 Minuten → 330 Schritte
3. ↓ : 3 ↓ : 3
4. 1 Minute → 330 Schritte : 3 = 110 Schritte
5. ↓ · 10 ↓ · 10
6. 10 Minuten → 110 Schritte · 10 = 1100 Schritte
Ergebnis:
1100 Schritte

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

Ausprobieren: Größen umrechnen: die Einheitenleiter

Die Einheiten stehen als Stufen übereinander. Wer nach unten geht, nimmt mal, wer nach oben geht, teilt.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Wie viele ml sind 0,5 l? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.

Schritt für Schritt

Milli heißt ein Tausendstel: 1 l = 1000 ml
Größere Einheit in kleinere: mal. 0,5 · 1000 = 500

Milli heißt ein Tausendstel: 1 l = 1000 ml
Größere Einheit in kleinere: mal. 0,5 · 1000 = 500

Ergebnis:

500 ml

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht

Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45

So richtig

0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

○1
Rechne um: 4 m in km.
So fängst du an:
Kilo heißt tausend: 1 km = 1000 m
Lösung zeigen
1. Kilo heißt tausend: 1 km = 1000 m
2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 4 : 1000 = 0,004
Ergebnis:
0,004 km
●2
Ein Heizlüfter hat 2 kW. Gib die Angabe in W an.
Lösung zeigen
1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
2. Größere Einheit in kleinere: mal. 2 · 1000 = 2000
Ergebnis:
2000 W
★3
Die Fliesenfuge ist 12,5 mm breit. Gib die Angabe in cm an.
Lösung zeigen
1. Milli heißt ein Tausendstel, zenti heißt ein hundertstel: 1 cm = 10 mm
2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 12,5 : 10 = 1,25
Ergebnis:
1,25 cm

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Rechne 126 km/h in m/s um.

Schritt für Schritt

1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
Also durch 3,6 teilen: 126 : 3,6 = 35

1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
Also durch 3,6 teilen: 126 : 3,6 = 35

Ergebnis:

35 m/s

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht

72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s

So richtig

72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

○4
Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 30 km/h oder eine Läuferin mit 5 m/s?
So fängst du an:
Die Läuferin in km/h: 5 · 3,6 = 18
Lösung zeigen
1. Die Läuferin in km/h: 5 · 3,6 = 18
2. 18 km/h < 30 km/h
Ergebnis:
Der Radfahrer ist schneller.
●5
Ein Radfahrer ist 20 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
Lösung zeigen
1. In 1 s: 20 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
2. 20 · 3600 = 72.000, also 72.000 m in einer Stunde.
3. 72.000 m = 72 km, also 72 km/h.
Ergebnis:
72 km/h
★6
Rechne 45 km/h in m/s um.
Lösung zeigen
1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
2. Also durch 3,6 teilen: 45 : 3,6 ≈ 12,5
Ergebnis:
≈ 12,5 m/s

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Eine Lampe hat 50 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?

Schritt für Schritt

1 kWh = 1000 Wh
1000 : 50 = 20, also 20 Stunden.

1 kWh = 1000 Wh
1000 : 50 = 20, also 20 Stunden.

Ergebnis:

20 Stunden

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht

Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45

So richtig

0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

○7
Ein Laptop hat 40 W und läuft 5 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 40 ct. Was kostet der Strom?
So fängst du an:
40 W = 0,04 kW
Lösung zeigen
1. 40 W = 0,04 kW
2. Energie: 0,04 · 5 · 7 = 1,4, also 1,4 kWh.
3. Kosten: 1,4 · 40 = 56, also 56 ct ≈ 0,56 €.
Ergebnis:
≈ 0,56 €
●8
Ein Fernseher hat 100 W und läuft 5 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 30 ct. Was kostet der Strom?
Lösung zeigen
1. 100 W = 0,1 kW
2. Energie: 0,1 · 5 · 7 = 3,5, also 3,5 kWh.
3. Kosten: 3,5 · 30 = 105, also 105 ct ≈ 1,05 €.
Ergebnis:
≈ 1,05 €
★9
Ein Gerät mit 2 kW läuft 30 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 30 ct je kWh?
Lösung zeigen
1. 30 min = 0,5 h
2. 2 · 0,5 = 1, also 1 kWh.
3. 1 · 30 = 30, also 30 ct.
Ergebnis:
1 kWh, 30 ct

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Mira und Jonas haben am Flohmarktstand 45 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 1 : 2. Wie viel bekommt jeder?

Schritt für Schritt

Teile: 1 + 2 = 3
Ein Teil: 45 : 3 = 15, also 15 €.
Mira: 1 · 15 = 15. Jonas: 2 · 15 = 30

Teile: 1 + 2 = 3
Ein Teil: 45 : 3 = 15, also 15 €.
Mira: 1 · 15 = 15. Jonas: 2 · 15 = 30

Ergebnis:

Mira 15 €, Jonas 30 €

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht

400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml

So richtig

4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

○10
Emre und Lea haben am Flohmarktstand 45 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 2 : 3. Wie viel bekommt jeder?
So fängst du an:
Teile: 2 + 3 = 5
Lösung zeigen
1. Teile: 2 + 3 = 5
2. Ein Teil: 45 : 5 = 9, also 9 €.
3. Emre: 2 · 9 = 18. Lea: 3 · 9 = 27
Ergebnis:
Emre 18 €, Lea 27 €
●11
Emre und Lea haben am Flohmarktstand 27 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 1 : 2. Wie viel bekommt jeder?
Lösung zeigen
1. Teile: 1 + 2 = 3
2. Ein Teil: 27 : 3 = 9, also 9 €.
3. Emre: 1 · 9 = 9. Lea: 2 · 9 = 18
Ergebnis:
Emre 9 €, Lea 18 €
★12
Emre und Lea haben am Flohmarktstand 240 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 3 : 5. Wie viel bekommt jeder?
Lösung zeigen
1. Teile: 3 + 5 = 8
2. Ein Teil: 240 : 8 = 30, also 30 €.
3. Emre: 3 · 30 = 90. Lea: 5 · 30 = 150
Ergebnis:
Emre 90 €, Lea 150 €

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Ein Boden von 4,5 m mal 2 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 15 % dazu. Ein Paket reicht für 1 m². Wie viele Pakete kaufst du?

Schritt für Schritt

Fläche: 4,5 · 2 = 9, also 9 m².
Mit Verschnitt: 9 · 1,15 = 10,35
Pakete: 10,35 : 1 ≈ 10,35 → aufrunden auf 11

Fläche: 4,5 · 2 = 9, also 9 m².
Mit Verschnitt: 9 · 1,15 = 10,35
Pakete: 10,35 : 1 ≈ 10,35 → aufrunden auf 11

Ergebnis:

11 Pakete

AchtungUnpassend gerundet

So nicht

130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse

So richtig

130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

○13
Ein Zimmer ist 6 m lang und 4 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,8 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
So fängst du an:
Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 4) − 0,8 = 19,2
Lösung zeigen
1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 4) − 0,8 = 19,2
2. Mit Verschnitt: 19,2 · 1,1 = 21,12
3. Leisten: 21,12 : 2 ≈ 10,56 → aufrunden auf 11
Ergebnis:
11 Leisten
●14
Die Wände eines Zimmers haben zusammen 45 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 6 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
Lösung zeigen
1. Fläche zum Streichen: 45 · 1 = 45, also 45 m².
2. Liter: 45 : 6 = 7,5
3. Eimer: 7,5 : 2,5 = 3, es geht genau auf.
Ergebnis:
3 Eimer
★15
Ein Zimmer ist 6 m lang und 4 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (1 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2,5 m brauchst du?
Lösung zeigen
1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 4) − 1 = 19
2. Mit Verschnitt: 19 · 1,1 = 20,9
3. Leisten: 20,9 : 2,5 ≈ 8,36 → aufrunden auf 9
Ergebnis:
9 Leisten

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

Von einer 8 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,7 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?

Schritt für Schritt

8 : 0,7 ≈ 11,43
Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 11

8 : 0,7 ≈ 11,43
Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 11

Ergebnis:

11 Stücke

AchtungGrundwert wie Prozentwert gerechnet

So nicht

400 sind 50 %, Ganzes → 200

So richtig

400 sind 50 %, Ganzes → 800

Schreib auf: Was sind 100 %? Was ist der Teil?

ÜbenJetzt du

○16
108 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 40 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 2,7. Wie viele Busse braucht man?
So fängst du an:
108 : 40 ≈ 2,7
Lösung zeigen
1. 108 : 40 ≈ 2,7
2. Mit 2 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 3
Ergebnis:
3 Busse
●17
Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 4,3 m lang, 2,9 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 12,47 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
Lösung zeigen
1. 4,3 · 2,9 = 12,47
2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 12,47 ≈ 12,5
Ergebnis:
≈ 12,5 m²
★18
76 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 30 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 2,5333. Wie viele Busse braucht man?
Lösung zeigen
1. 76 : 30 ≈ 2,53
2. Mit 2 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 3
Ergebnis:
3 Busse

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 450 Kinder, je 6 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.

Schritt für Schritt

Blätter: 6 · 450 · 5 = 13.500
Höhe: 13.500 · 0,1 = 1350, also 1350 mm.
1350 mm = 135 cm, also etwa 1,4 m.

Blätter: 6 · 450 · 5 = 13.500
Höhe: 13.500 · 0,1 = 1350, also 1350 mm.
1350 mm = 135 cm, also etwa 1,4 m.

Ergebnis:

etwa 1,4 m

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht

130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse

So richtig

130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

○19
Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 600 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
So fängst du an:
Am Tag: 600 · 3 · 6 = 10.800, also 10.800 Liter.
Lösung zeigen
1. Am Tag: 600 · 3 · 6 = 10.800, also 10.800 Liter.
2. Im Jahr: 10.800 · 190 = 2.052.000
3. Das sind etwa 2052 m³, denn 1000 l = 1 m³.
Ergebnis:
etwa 2.100.000 Liter
●20
Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 500 m am Tag, 190 Schultage.
Lösung zeigen
1. 500 · 190 = 95.000, also 95.000 m.
2. 95.000 m = 95 km
3. Gerundet: etwa 100 km
Ergebnis:
etwa 100 km
★21
Wie oft schlägt dein Herz in einem Schuljahr, während du in der Schule bist? Annahmen: 70 Schläge in der Minute, 6 Stunden am Tag, 190 Schultage.
Lösung zeigen
1. In einer Stunde: 70 · 60 = 4200
2. Am Tag: 4200 · 6 = 25.200
3. Im Jahr: 25.200 · 190 = 4.788.000
4. Gerundet: etwa 5 Millionen
Ergebnis:
etwa 5 Millionen

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 5 h, 6 h, 5 h und 6 h. Der Stundenlohn ist 15,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?

Schritt für Schritt

Stunden: 5 + 6 + 5 + 6 = 22
Lohn: 22 · 15 = 330

Stunden: 5 + 6 + 5 + 6 = 22
Lohn: 22 · 15 = 330

Ergebnis:

330,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht

7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €

So richtig

45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

○22
Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 5 h, 4 h, 3 h und 6 h. Der Stundenlohn ist 16,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
So fängst du an:
Stunden: 5 + 4 + 3 + 6 = 18
Lösung zeigen
1. Stunden: 5 + 4 + 3 + 6 = 18
2. Lohn: 18 · 16 = 288
Ergebnis:
288,00 €
●23
Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 5 h, 2 h, 5 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 18,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
Lösung zeigen
1. Stunden: 5 + 2 + 5 + 4 = 16
2. Lohn: 16 · 18 = 288
Ergebnis:
288,00 €
★24
Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 5 h, 2 h, 5 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 16,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
Lösung zeigen
1. Stunden: 5 + 2 + 5 + 4 = 16
2. Lohn: 16 · 16 = 256
Ergebnis:
256,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Rechne um: 40 ml in cl.
Lösung zeigen
1. Milli heißt ein Tausendstel, zenti heißt ein hundertstel: 1 cl = 10 ml
2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 40 : 10 = 4
Ergebnis:
4 cl
●26
Mila sagt: „1400 ml ist mehr als 1,5 l, weil 1400 die größere Zahl ist.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. In dieselbe Einheit: 1,5 l = 1500 ml
2. 1500 ml > 1400 ml
Ergebnis:
Nein, 1,5 l ist mehr.
●27
Rechne 144 km/h in m/s um.
Lösung zeigen
1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
2. Also durch 3,6 teilen: 144 : 3,6 = 40
Ergebnis:
40 m/s
●28
Jemand fährt mit 54 km/h und schaut 2 Sekunden aufs Handy. Wie weit fährt er in dieser Zeit blind?
Lösung zeigen
1. 54 km/h in m/s: 54 : 3,6 = 15
2. In 2 s: 15 · 2 = 30
Ergebnis:
30 m
●29
Ein Gerät mit 1,5 kW läuft 30 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 40 ct je kWh?
Lösung zeigen
1. 30 min = 0,5 h
2. 1,5 · 0,5 = 0,75, also 0,75 kWh.
3. 0,75 · 40 = 30, also 30 ct.
Ergebnis:
0,75 kWh, 30 ct
●30
Der Föhn (1500 W) läuft 0,25 Stunden am Tag, die Waschmaschine (1000 W) 1 Stunden am Tag. Was braucht an einem Tag mehr Energie?
Lösung zeigen
1. Der Föhn: 1,5 · 0,25 = 0,375, also 0,375 kWh.
2. Die Waschmaschine: 1 · 1 = 1, also 1 kWh.
Ergebnis:
Die Waschmaschine braucht mehr.

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s: Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten: Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis: Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden: Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit: Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte: Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge: Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.
31
Eine Schraube ist 750 m lang. Gib die Angabe in cm an.
Lösung zeigen
Ergebnis:
75.000 cm
Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.
32
Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 15 km/h oder eine Läuferin mit 6 m/s?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Die Läuferin ist schneller.
Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.
33
Ein Laptop hat 50 W und läuft 5 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 40 ct. Was kostet der Strom?
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 3,00 €
Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.
34
Nina und Ali haben am Flohmarktstand 48 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 3 : 5. Wie viel bekommt jeder?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nina 18 €, Ali 30 €
Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.
35
Ein Zimmer ist 4 m lang und 3,5 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,8 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
Lösung zeigen
Ergebnis:
8 Leisten
Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.
36
210 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 50 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 4,2. Wie viele Busse braucht man?
Lösung zeigen
Ergebnis:
5 Busse
Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.
37
Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 700 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
Lösung zeigen
Ergebnis:
etwa 2.400.000 Liter
Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.
38
Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 6:00 bis 14:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 14,50 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
Lösung zeigen
Ergebnis:
116,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz: wie viel Prozent es sind
Prozentwert: der Teil, um den es geht
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

0,004 km
2000 W
1,25 cm
Der Radfahrer ist schneller.
72 km/h
≈ 12,5 m/s
≈ 0,56 €
≈ 1,05 €
1 kWh, 30 ct
Emre 18 €, Lea 27 €
Emre 9 €, Lea 18 €
Emre 90 €, Lea 150 €
11 Leisten
3 Eimer
9 Leisten
3 Busse
≈ 12,5 m²
3 Busse
etwa 2.100.000 Liter
etwa 100 km
etwa 5 Millionen
288,00 €
288,00 €
256,00 €
4 cl
Nein, 1,5 l ist mehr.
40 m/s
30 m
0,75 kWh, 30 ct
Die Waschmaschine braucht mehr.
75.000 cm
Die Läuferin ist schneller.
≈ 3,00 €
Nina 18 €, Ali 30 €
8 Leisten
5 Busse
etwa 2.400.000 Liter
116,00 €
120 mm
1100 Schritte

Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

●39
Rechne um: 12 cm in mm.
Lösung zeigen
1. 1 cm = 10 mm
2. 12 · 10 = 120 mm
Ergebnis:
120 mm
●40
Beim Laufen zur Schule zählt das Handy in 3 Minuten 330 Schritte. Wie viele Schritte sind es nach 10 Minuten?
Lösung zeigen
1. Minuten Schritte
2. 3 Minuten → 330 Schritte
3. ↓ : 3 ↓ : 3
4. 1 Minute → 330 Schritte : 3 = 110 Schritte
5. ↓ · 10 ↓ · 10
6. 10 Minuten → 110 Schritte · 10 = 1100 Schritte
Ergebnis:
1100 Schritte

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

Ausprobieren: Größen umrechnen: die Einheitenleiter

Die Einheiten stehen als Stufen übereinander. Wer nach unten geht, nimmt mal, wer nach oben geht, teilt.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Wie viele ml sind 0,5 l? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.

Schritt für Schritt

Milli heißt ein Tausendstel: 1 l = 1000 ml
Größere Einheit in kleinere: mal. 0,5 · 1000 = 500

Milli heißt ein Tausendstel: 1 l = 1000 ml
Größere Einheit in kleinere: mal. 0,5 · 1000 = 500

Ergebnis:

500 ml

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht

Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45

So richtig

0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

○1
Rechne um: 4 m in km.
So fängst du an:
Kilo heißt tausend: 1 km = 1000 m
Lösung zeigen
1. Kilo heißt tausend: 1 km = 1000 m
2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 4 : 1000 = 0,004
Ergebnis:
0,004 km
●2
Ein Heizlüfter hat 2 kW. Gib die Angabe in W an.
Lösung zeigen
1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
2. Größere Einheit in kleinere: mal. 2 · 1000 = 2000
Ergebnis:
2000 W
★3
Die Fliesenfuge ist 12,5 mm breit. Gib die Angabe in cm an.
Lösung zeigen
1. Milli heißt ein Tausendstel, zenti heißt ein hundertstel: 1 cm = 10 mm
2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 12,5 : 10 = 1,25
Ergebnis:
1,25 cm

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Rechne 126 km/h in m/s um.

Schritt für Schritt

1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
Also durch 3,6 teilen: 126 : 3,6 = 35

1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
Also durch 3,6 teilen: 126 : 3,6 = 35

Ergebnis:

35 m/s

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht

72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s

So richtig

72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

○4
Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 30 km/h oder eine Läuferin mit 5 m/s?
So fängst du an:
Die Läuferin in km/h: 5 · 3,6 = 18
Lösung zeigen
1. Die Läuferin in km/h: 5 · 3,6 = 18
2. 18 km/h < 30 km/h
Ergebnis:
Der Radfahrer ist schneller.
●5
Ein Radfahrer ist 20 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
Lösung zeigen
1. In 1 s: 20 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
2. 20 · 3600 = 72.000, also 72.000 m in einer Stunde.
3. 72.000 m = 72 km, also 72 km/h.
Ergebnis:
72 km/h
★6
Rechne 45 km/h in m/s um.
Lösung zeigen
1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
2. Also durch 3,6 teilen: 45 : 3,6 ≈ 12,5
Ergebnis:
≈ 12,5 m/s

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Eine Lampe hat 50 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?

Schritt für Schritt

1 kWh = 1000 Wh
1000 : 50 = 20, also 20 Stunden.

1 kWh = 1000 Wh
1000 : 50 = 20, also 20 Stunden.

Ergebnis:

20 Stunden

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht

Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45

So richtig

0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

○7
Ein Laptop hat 40 W und läuft 5 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 40 ct. Was kostet der Strom?
So fängst du an:
40 W = 0,04 kW
Lösung zeigen
1. 40 W = 0,04 kW
2. Energie: 0,04 · 5 · 7 = 1,4, also 1,4 kWh.
3. Kosten: 1,4 · 40 = 56, also 56 ct ≈ 0,56 €.
Ergebnis:
≈ 0,56 €
●8
Ein Fernseher hat 100 W und läuft 5 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 30 ct. Was kostet der Strom?
Lösung zeigen
1. 100 W = 0,1 kW
2. Energie: 0,1 · 5 · 7 = 3,5, also 3,5 kWh.
3. Kosten: 3,5 · 30 = 105, also 105 ct ≈ 1,05 €.
Ergebnis:
≈ 1,05 €
★9
Ein Gerät mit 2 kW läuft 30 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 30 ct je kWh?
Lösung zeigen
1. 30 min = 0,5 h
2. 2 · 0,5 = 1, also 1 kWh.
3. 1 · 30 = 30, also 30 ct.
Ergebnis:
1 kWh, 30 ct

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Mira und Jonas haben am Flohmarktstand 45 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 1 : 2. Wie viel bekommt jeder?

Schritt für Schritt

Teile: 1 + 2 = 3
Ein Teil: 45 : 3 = 15, also 15 €.
Mira: 1 · 15 = 15. Jonas: 2 · 15 = 30

Teile: 1 + 2 = 3
Ein Teil: 45 : 3 = 15, also 15 €.
Mira: 1 · 15 = 15. Jonas: 2 · 15 = 30

Ergebnis:

Mira 15 €, Jonas 30 €

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht

400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml

So richtig

4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

○10
Emre und Lea haben am Flohmarktstand 45 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 2 : 3. Wie viel bekommt jeder?
So fängst du an:
Teile: 2 + 3 = 5
Lösung zeigen
1. Teile: 2 + 3 = 5
2. Ein Teil: 45 : 5 = 9, also 9 €.
3. Emre: 2 · 9 = 18. Lea: 3 · 9 = 27
Ergebnis:
Emre 18 €, Lea 27 €
●11
Emre und Lea haben am Flohmarktstand 27 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 1 : 2. Wie viel bekommt jeder?
Lösung zeigen
1. Teile: 1 + 2 = 3
2. Ein Teil: 27 : 3 = 9, also 9 €.
3. Emre: 1 · 9 = 9. Lea: 2 · 9 = 18
Ergebnis:
Emre 9 €, Lea 18 €
★12
Emre und Lea haben am Flohmarktstand 240 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 3 : 5. Wie viel bekommt jeder?
Lösung zeigen
1. Teile: 3 + 5 = 8
2. Ein Teil: 240 : 8 = 30, also 30 €.
3. Emre: 3 · 30 = 90. Lea: 5 · 30 = 150
Ergebnis:
Emre 90 €, Lea 150 €

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Ein Boden von 4,5 m mal 2 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 15 % dazu. Ein Paket reicht für 1 m². Wie viele Pakete kaufst du?

Schritt für Schritt

Fläche: 4,5 · 2 = 9, also 9 m².
Mit Verschnitt: 9 · 1,15 = 10,35
Pakete: 10,35 : 1 ≈ 10,35 → aufrunden auf 11

Fläche: 4,5 · 2 = 9, also 9 m².
Mit Verschnitt: 9 · 1,15 = 10,35
Pakete: 10,35 : 1 ≈ 10,35 → aufrunden auf 11

Ergebnis:

11 Pakete

AchtungUnpassend gerundet

So nicht

130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse

So richtig

130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

○13
Ein Zimmer ist 6 m lang und 4 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,8 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
So fängst du an:
Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 4) − 0,8 = 19,2
Lösung zeigen
1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 4) − 0,8 = 19,2
2. Mit Verschnitt: 19,2 · 1,1 = 21,12
3. Leisten: 21,12 : 2 ≈ 10,56 → aufrunden auf 11
Ergebnis:
11 Leisten
●14
Die Wände eines Zimmers haben zusammen 45 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 6 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
Lösung zeigen
1. Fläche zum Streichen: 45 · 1 = 45, also 45 m².
2. Liter: 45 : 6 = 7,5
3. Eimer: 7,5 : 2,5 = 3, es geht genau auf.
Ergebnis:
3 Eimer
★15
Ein Zimmer ist 6 m lang und 4 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (1 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2,5 m brauchst du?
Lösung zeigen
1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 4) − 1 = 19
2. Mit Verschnitt: 19 · 1,1 = 20,9
3. Leisten: 20,9 : 2,5 ≈ 8,36 → aufrunden auf 9
Ergebnis:
9 Leisten

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

Von einer 8 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,7 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?

Schritt für Schritt

8 : 0,7 ≈ 11,43
Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 11

8 : 0,7 ≈ 11,43
Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 11

Ergebnis:

11 Stücke

AchtungGrundwert wie Prozentwert gerechnet

So nicht

400 sind 50 %, Ganzes → 200

So richtig

400 sind 50 %, Ganzes → 800

Schreib auf: Was sind 100 %? Was ist der Teil?

ÜbenJetzt du

○16
108 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 40 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 2,7. Wie viele Busse braucht man?
So fängst du an:
108 : 40 ≈ 2,7
Lösung zeigen
1. 108 : 40 ≈ 2,7
2. Mit 2 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 3
Ergebnis:
3 Busse
●17
Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 4,3 m lang, 2,9 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 12,47 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
Lösung zeigen
1. 4,3 · 2,9 = 12,47
2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 12,47 ≈ 12,5
Ergebnis:
≈ 12,5 m²
★18
76 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 30 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 2,5333. Wie viele Busse braucht man?
Lösung zeigen
1. 76 : 30 ≈ 2,53
2. Mit 2 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 3
Ergebnis:
3 Busse

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 450 Kinder, je 6 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.

Schritt für Schritt

Blätter: 6 · 450 · 5 = 13.500
Höhe: 13.500 · 0,1 = 1350, also 1350 mm.
1350 mm = 135 cm, also etwa 1,4 m.

Blätter: 6 · 450 · 5 = 13.500
Höhe: 13.500 · 0,1 = 1350, also 1350 mm.
1350 mm = 135 cm, also etwa 1,4 m.

Ergebnis:

etwa 1,4 m

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht

130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse

So richtig

130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

○19
Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 600 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
So fängst du an:
Am Tag: 600 · 3 · 6 = 10.800, also 10.800 Liter.
Lösung zeigen
1. Am Tag: 600 · 3 · 6 = 10.800, also 10.800 Liter.
2. Im Jahr: 10.800 · 190 = 2.052.000
3. Das sind etwa 2052 m³, denn 1000 l = 1 m³.
Ergebnis:
etwa 2.100.000 Liter
●20
Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 500 m am Tag, 190 Schultage.
Lösung zeigen
1. 500 · 190 = 95.000, also 95.000 m.
2. 95.000 m = 95 km
3. Gerundet: etwa 100 km
Ergebnis:
etwa 100 km
★21
Wie oft schlägt dein Herz in einem Schuljahr, während du in der Schule bist? Annahmen: 70 Schläge in der Minute, 6 Stunden am Tag, 190 Schultage.
Lösung zeigen
1. In einer Stunde: 70 · 60 = 4200
2. Am Tag: 4200 · 6 = 25.200
3. Im Jahr: 25.200 · 190 = 4.788.000
4. Gerundet: etwa 5 Millionen
Ergebnis:
etwa 5 Millionen

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 5 h, 6 h, 5 h und 6 h. Der Stundenlohn ist 15,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?

Schritt für Schritt

Stunden: 5 + 6 + 5 + 6 = 22
Lohn: 22 · 15 = 330

Stunden: 5 + 6 + 5 + 6 = 22
Lohn: 22 · 15 = 330

Ergebnis:

330,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht

7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €

So richtig

45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

○22
Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 5 h, 4 h, 3 h und 6 h. Der Stundenlohn ist 16,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
So fängst du an:
Stunden: 5 + 4 + 3 + 6 = 18
Lösung zeigen
1. Stunden: 5 + 4 + 3 + 6 = 18
2. Lohn: 18 · 16 = 288
Ergebnis:
288,00 €
●23
Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 5 h, 2 h, 5 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 18,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
Lösung zeigen
1. Stunden: 5 + 2 + 5 + 4 = 16
2. Lohn: 16 · 18 = 288
Ergebnis:
288,00 €
★24
Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 5 h, 2 h, 5 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 16,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
Lösung zeigen
1. Stunden: 5 + 2 + 5 + 4 = 16
2. Lohn: 16 · 16 = 256
Ergebnis:
256,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Rechne um: 40 ml in cl.
Lösung zeigen
1. Milli heißt ein Tausendstel, zenti heißt ein hundertstel: 1 cl = 10 ml
2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 40 : 10 = 4
Ergebnis:
4 cl
●26
Mila sagt: „1400 ml ist mehr als 1,5 l, weil 1400 die größere Zahl ist.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. In dieselbe Einheit: 1,5 l = 1500 ml
2. 1500 ml > 1400 ml
Ergebnis:
Nein, 1,5 l ist mehr.
●27
Rechne 144 km/h in m/s um.
Lösung zeigen
1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
2. Also durch 3,6 teilen: 144 : 3,6 = 40
Ergebnis:
40 m/s
●28
Jemand fährt mit 54 km/h und schaut 2 Sekunden aufs Handy. Wie weit fährt er in dieser Zeit blind?
Lösung zeigen
1. 54 km/h in m/s: 54 : 3,6 = 15
2. In 2 s: 15 · 2 = 30
Ergebnis:
30 m
●29
Ein Gerät mit 1,5 kW läuft 30 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 40 ct je kWh?
Lösung zeigen
1. 30 min = 0,5 h
2. 1,5 · 0,5 = 0,75, also 0,75 kWh.
3. 0,75 · 40 = 30, also 30 ct.
Ergebnis:
0,75 kWh, 30 ct
●30
Der Föhn (1500 W) läuft 0,25 Stunden am Tag, die Waschmaschine (1000 W) 1 Stunden am Tag. Was braucht an einem Tag mehr Energie?
Lösung zeigen
1. Der Föhn: 1,5 · 0,25 = 0,375, also 0,375 kWh.
2. Die Waschmaschine: 1 · 1 = 1, also 1 kWh.
Ergebnis:
Die Waschmaschine braucht mehr.

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s: Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten: Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis: Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden: Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit: Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte: Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge: Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.
31
Eine Schraube ist 750 m lang. Gib die Angabe in cm an.
Lösung zeigen
Ergebnis:
75.000 cm
Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.
32
Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 15 km/h oder eine Läuferin mit 6 m/s?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Die Läuferin ist schneller.
Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.
33
Ein Laptop hat 50 W und läuft 5 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 40 ct. Was kostet der Strom?
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 3,00 €
Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.
34
Nina und Ali haben am Flohmarktstand 48 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 3 : 5. Wie viel bekommt jeder?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nina 18 €, Ali 30 €
Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.
35
Ein Zimmer ist 4 m lang und 3,5 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,8 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
Lösung zeigen
Ergebnis:
8 Leisten
Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.
36
210 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 50 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 4,2. Wie viele Busse braucht man?
Lösung zeigen
Ergebnis:
5 Busse
Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.
37
Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 700 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
Lösung zeigen
Ergebnis:
etwa 2.400.000 Liter
Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.
38
Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 6:00 bis 14:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 14,50 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
Lösung zeigen
Ergebnis:
116,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Wörter

Prozentsatz: wie viel Prozent es sind
Prozentwert: der Teil, um den es geht
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

0,004 km
2000 W
1,25 cm
Der Radfahrer ist schneller.
72 km/h
≈ 12,5 m/s
≈ 0,56 €
≈ 1,05 €
1 kWh, 30 ct
Emre 18 €, Lea 27 €
Emre 9 €, Lea 18 €
Emre 90 €, Lea 150 €
11 Leisten
3 Eimer
9 Leisten
3 Busse
≈ 12,5 m²
3 Busse
etwa 2.100.000 Liter
etwa 100 km
etwa 5 Millionen
288,00 €
288,00 €
256,00 €
4 cl
Nein, 1,5 l ist mehr.
40 m/s
30 m
0,75 kWh, 30 ct
Die Waschmaschine braucht mehr.
75.000 cm
Die Läuferin ist schneller.
≈ 3,00 €
Nina 18 €, Ali 30 €
8 Leisten
5 Busse
etwa 2.400.000 Liter
116,00 €
120 mm
1100 Schritte