Hypothesen testen
Das lernst du
- Ich kann eine Vermutung als Null- und Gegenhypothese formulieren.
- Ich kann Testgröße, Stichprobenumfang und Signifikanzniveau benennen.
- Ich kann für einen rechtsseitigen Test den Ablehnungsbereich bestimmen.
- Ich kann dasselbe für links- und zweiseitige Tests.
- Ich kann eine Entscheidungsregel im Sachkontext formulieren und anwenden.
- Ich kann Fehler 1. und 2. Art erklären und berechnen.
- Ich kann Alternativtests durchführen.
- Ich kann beurteilen, wie Signifikanzniveau und Stichprobenumfang die Fehler beeinflussen.
- Ich kann ein Testergebnis sachgerecht deuten („nicht verworfen“ ist nicht „bewiesen“).
Merksätze
H₀ ist die Behauptung, die man prüft.
Die Gegenhypothese H₁ sagt, in welche Richtung sie falsch sein könnte.
Ablehnen, wenn das Ergebnis unter H₀ höchstens mit der Wahrscheinlichkeit α vorkommt.
Gesucht ist der größte Bereich, der das noch einhält.
1. Art: H₀ abgelehnt, obwohl sie stimmt (höchstens α).
2. Art: H₀ beibehalten, obwohl sie falsch ist (β).
Bleibt H₀ bestehen, widerspricht die Stichprobe ihr nicht deutlich.
Das ist kein Beweis für H₀.
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
Eselsbrücken
- Erst zu Unrecht ablehnen (1. Art), dann zu Unrecht behalten (2. Art): „Alarm ohne Feuer“ und „Feuer ohne Alarm“ – 1. Art: H₀ stimmt, wird aber abgelehnt (höchstens α). 2. Art: H₀ ist falsch, bleibt aber bestehen (β).
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
Ein Händler behauptet: „Höchstens 5 % der Artikel sind beschädigt.“ Ein Kunde zweifelt. Wie lauten Nullhypothese und Gegenhypothese für p, die Wahrscheinlichkeit des betrachteten Merkmals?
- Anteil als Dezimalzahl: 5 % = 5 : 100 = 0,05
- H₀ enthält die Behauptung, die geprüft wird (mit Gleichheitszeichen).
- H₁ ist das, was die zweifelnde Seite vermutet.
- H₀: p ≤ 0,05
- H₁: p > 0,05 (einseitig, rechts)
Ergebnis: H₀: p ≤ 0,05; H₁: p > 0,05
Nullhypothese: „Höchstens 5 % der gelieferten Teile sind defekt.“ Beschreibe den Fehler 1. Art und den Fehler 2. Art im Sachzusammenhang.
- Fehler 1. Art: Die Nullhypothese wird abgelehnt, obwohl sie stimmt.
- Hier: Die Lieferung wird zurückgeschickt, obwohl sie in Ordnung ist.
- Fehler 2. Art: Die Nullhypothese wird beibehalten, obwohl sie falsch ist.
- Hier: Eine schlechte Lieferung wird angenommen.
Ergebnis: 1. Art: Die Lieferung wird zurückgeschickt, obwohl sie in Ordnung ist. 2. Art: Eine schlechte Lieferung wird angenommen.
Ein Impfstoff soll bei höchstens 15 % der Geimpften Nebenwirkungen haben. 50 Geimpfte werden befragt; die Irrtumswahrscheinlichkeit soll höchstens 1 % betragen. Nenne die Testgröße, den Stichprobenumfang und das Signifikanzniveau.
- Testgröße X: Anzahl der Geimpften mit Nebenwirkungen.
- Stichprobenumfang: n = 50.
- Signifikanzniveau: α = 1 %.
- Unter H₀ ist X binomialverteilt mit n = 50 und p = 0,15.
- Erwartungswert unter H₀: 50 · 0,15 = 7,5
Ergebnis: X = Anzahl der Geimpften mit Nebenwirkungen; n = 50; α = 1 %
Behauptet wird p₀ = 0,75. Bei n = 20 Versuchen soll auf dem Signifikanzniveau 1 % einseitig nach oben (rechtsseitig) getestet werden. Bestimme den Ablehnungsbereich mit der Binomialverteilung.
- H₀: p ≤ 0,75 gegen H₁: p > 0,75; unter H₀: μ = 20 · 0,75 = 15
- Gesucht: kleinstes k mit P(X ≥ k) ≤ 0,01
- P(X ≥ 19) = 1 − P(X ≤ 18) ≈ 0,0243 > 0,01
- P(X ≥ 20) = 1 − P(X ≤ 19) ≈ 0,0032 ≤ 0,01
- Ablehnungsbereich: X ≥ 20 (Fehler 1. Art ≈ 0,32 % ≤ 1 %)
Ergebnis: H₀ ablehnen für X ≥ 20
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
Rechtsseitig: Ablehnungsbereich X ≥ 62, weil P(X ≤ 62) ≈ 0,99 gerechnet wurde
Rechtsseitig: kleinstes k mit P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1) ≤ α; bei n = 100, p₀ = 0,5, α = 1 % ist das X ≥ 63
Rechts: kleinstes k mit P(X ≥ k) ≤ α, also 1 − P(X ≤ k − 1) rechnen. Links: größtes k mit P(X ≤ k) ≤ α.
Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt, also ist sie bewiesen
Nicht abgelehnt → die Stichprobe widerspricht H₀ nicht deutlich; bewiesen ist H₀ damit nicht (β > 0)
1. Art gibt es nur nach einer Ablehnung, 2. Art nur nach einem Beibehalten.
Wo brauchst du das?
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- Berliner Prüfungsaufgaben (ISQ, MSA und Abitur): Aufgaben vergangener Jahre – MSA, eBBR, Abitur (für Schulen freigegeben – nur verlinkt)
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